Probability: Theory and Examples–4thEd-Version4.1-Apr. 21, 2013_...

本书《概率论：理论与实例》第四版，作者为Rick Durrett，由剑桥大学出版社在2010年出版，并在2013年进行了更新，其中包括对之前的排版错误（typo）的修正，并在第八章新增了三个小节。该书作为数学研究生教材，主要涵盖概率论的基本概念、理论、例子及其应用。 书中第1部分着重于测度论，这是概率论中一个重要的数学基础。作者从概率空间开始，引入了分布函数、随机变量的概念，这些都是概率论中的基本元素。随后，书中详细讲解了积分理论，包括积分的性质、期望值的计算以及不等式等。积分理论是理解概率分布和期望值的基础。 接着，书中第二部分讨论了大数定律，这是概率论中用于描述大量独立同分布随机变量之和的极限行为的基本定理。大数定律包括了弱大数定律和强大数定律，其中弱大数定律主要研究随机变量序列的均值在概率意义上的收敛性，而强大数定律则研究几乎必然的收敛性。该部分也包括了Borel-Cantelli引理，它用于描述事件序列几乎必然发生的概率条件。 中心极限定理是概率论中另一个核心主题，其相关内容占据了本书相当大的篇幅。中心极限定理描述了独立随机变量和的分布如何趋近于正态分布。该部分不仅涵盖了De Moivre-Laplace定理这样的经典结果，也包括了特征函数在弱收敛性证明中的应用。此外，书中还讨论了中心极限定理的拓展，比如三角数组的中心极限定理、素数定理（Erdős-Kac定理）等。 大偏差原理在概率论中描述了某些事件发生的可能性与平均行为的偏差有多大。大偏差定理部分涉及了收敛速率和极值问题，这在统计物理和信息论等领域有着广泛的应用。 随机游走是概率论中的一个重要概念，与许多数学领域和实际问题都有联系。本书在该部分讨论了停止时间、递归、返回0的次数以及更新理论，这些都是随机过程理论中的重要组成部分。 鞅是概率论中的另一个关键概念，它描述了一个期望值随时间保持不变的随机过程。本书的鞅理论部分涵盖了条件期望、几乎必然收敛等概念，并且讨论了具有有界增量的鞅以及Polya的计数问题。 通过上述对《概率论：理论与实例》第四版的内容概览，可以看出本书从基础理论出发，系统地阐述了概率论的各个重要组成部分，包括测度论、大数定律、中心极限定理、大偏差原理、随机游走和鞅等，书中的内容不仅涵盖了理论知识，还包括了理论的证明以及大量实例，是一本内容丰富、结构完整的概率论教材。