{范例2.8} 降落伞下降的规律
物体在空气中运动时，阻力的大小可以表示为f = CρAv
2
/2
。其中ρ是空气的密度，A 是物体的有效横截面积，C为阻
力系数。一降落伞和人组成系统的极限速度为v
T
= 5m/s，
当系统从静止开始下落时，求它的速度和下落的高度随时
间的变化关系。如果该降落伞开始没有打开，当速度达到
v
0
= 10m/s时才打开，系统的运动规律是什么？
[解析]伞和人受到重力mg，方向竖直向下；
空气阻力f，方向竖直向上。
取向下为正方向，根据牛顿第二定律可
列人和伞的运动方程mg - kv
2
= ma，
其中k = CρA /2，k
是比例系数。
由于a = dv/dt，可得微分方程 其中K
2
= k/mg
。
当dv/dt→0时，v→v
T
，v
T
是
极限速度，因此K = 1/v
T
。
分离变
量得
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