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《Python 零基础入门与科学计算》初级课程期末考试(选考三)
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《
Python
零基础入门与科学计算》初级课程期末考试
(选考三)
攻克“最强大脑”节目项目
温馨提示:科学是我评判的唯一标准。
【繁花曲线】
《最强大脑之燃烧吧大脑》节目中出现“繁花曲线”挑战项目,说起“繁花曲线”,彼时
的繁花曲线规,已经红极大江南北,遍地开花,“繁花曲线”的图案更是运用在各个领域,丝
绸、餐具、书本等等,堪称 80、90 后两代人心中的童年回忆。“繁花曲线”
一段段美丽的线条,一种种绚丽的色彩。它是数学与美的完美结合,有一百个大小不一形
态各异的繁花齿轮,每个齿轮均有不同形状不同位置的绘图孔,繁花齿轮在空心外图板的圆洞
中转动,便绘制出无数种绚丽的图形。
《Python 零基础入门与科学计算》初级课程期末考试(选考三)
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《无问西东》电影中有一句话:“器识为先,文艺其从,立德立言,无问西东。”这句话
其实出自于清华大学的校歌。意思是人活这一辈子不应该被各种框框束缚,而是认清真实的自
我遵循本心而活。繁花曲线是由杨秉烈先生发明的,他是第一个获得国家发明奖的人,他的一
生奋斗在科技发明前线。杨秉烈先生正是保持着这样的匠人初心,不为世俗观念裹挟,他的精
神和德行应当为后世铭记于心。
1. 数学模型一:
真实的繁花曲线使用一种称为繁花曲线规的小玩意绘制,繁花曲线规由相互契合的大小两
个圆组成,用笔插在小圆上的一个孔中,紧贴大圆的内壁滚动,就可以绘制出漂亮的图案。
设圆 O
1
的半径为 r
1
,圆 O
2
的半径为 r
2
,k 为比例系数,分为“两圆内切、圆 O
1
固定、圆
O
2
顺时针滚动”和“两圆外切,圆 O
1
固定,圆 O
2
顺时针滚动”两种情况,如下图所示:
通过建立数学模型,可以得到两种情况下动点的轨迹方程:
“两圆内切、圆 O
1
固定、圆 O
2
顺时针滚动”时,动点的轨迹方程为:
t
r
r
rrt
r
rr
kry
t
r
r
rrt
r
rr
krx
1
2
21
1
21
21
1
2
21
1
21
21
sinsin
coscos
《Python 零基础入门与科学计算》初级课程期末考试(选考三)
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“两圆外切,圆 O
1
固定,圆 O
2
顺时针滚动”时,动点的轨迹方程为:
t
r
r
rrt
r
rr
kry
t
r
r
rrt
r
rr
krx
1
2
21
1
21
22
1
2
21
1
21
22
sinsin
coscos
提示:使用 Python 中的 Numpy 库和 Matplotlib 库。绘制不同条件的繁花曲线,作图要求如下:
在时间 0 ~ t 内,每隔 0.01 取一个点作图,即:时间步长为 0.01;
绘图对象的宽度为 12 英寸,高度为 5 英寸;
对于左图,线条为红色,厚度为 2,实线;
对于右图,线条为蓝色,厚度为 2,实线;
保存图片名称为“fanhua”,分辨率为 dpi = 300。
(1)请你使用 Python 编程,分别画出“两圆内切、圆 O
1
固定、圆 O
2
顺时针滚动”和“两圆
外切,圆 O
1
固定,圆 O
2
顺时针滚动”所形成的繁花曲线图,其中圆 O
1
的半径为 r
1
= 5,
圆 O
2
的半径为 r
2
= 2,比例系数 k 为 1,时间为 1000,只有得到下面结果,程序才正确。
from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
def fanhua(r1,r2,k,t1):
t = arange(0,t1,0.01)
x1 = k * r2 * cos((r1 - r2) / r1 * t) + (r1 - r2) * cos(r2 / r1 * t)
y1 = k * r2 * sin((r1 - r2) / r1 * t) - (r1 - r2) * sin(r2 / r1 * t)
x2 = -k * r2 * cos((r1 + r2) / r1 * t) + (r1 + r2) * cos(r2 / r1 * t)
y2 = k * r2 * sin((r1 + r2) / r1 * t) - (r1 + r2) * sin(r2 / r1 * t)
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(121)
plt.plot(x1,y1,'r', linewidth = 2)
plt.subplot(122)
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passionSnail
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