应用多元统计分析II pdf

"应用多元统计分析II pdf" 本节将对应用多元统计分析II pdf 中的知识点进行总结和解释。 1. 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA） PCA 是一种常用的降维技术，旨在将高维数据降低到低维空间中。该方法最早由 Karl Pearson 在 1901 年提出，由 Harold Hotelling 在 1933 年进一步发展。 2. PCA 的数学推导 让我们考虑一个多元随机变量 X = (X1, X2, ..., Xp)，其均值为 μ，协方差矩阵为 Σ。我们的目标是找到一组新的随机变量 Z = (Z1, Z2, ..., Zp)，使得它们之间的相关性尽量小。 通过对 X 的线性变换，得到以下结果： Z1 = aT1 X Z2 = aT2 X ... Zp = aTp X 其中，ai 是一个 p 维向量。 可以证明，Var(Zi) = aTi Σai，Cov(Zi, Zj) = aTi Σaj。 3. 主成分分析的性质 通过对 Z 的计算，我们可以发现以下性质： 1. tr(Λ) = tr(QTΣQ) = tr(ΣQQT) = tr(Σ)，其中 Λ 是一个对角矩阵，Q 是一个正交矩阵。 2. p�i=1 λi = p�i=1 σii = p�i=1 Var(Xi)。 3. Zi 和 Xi 之间存在一定的相关性，ρ(Xj, Zi) = √λi / √σjj。 4. 主成分分析的应用 PCA 可以应用于数据降维、图像处理、文本分析等领域。在数据降维方面，PCA 可以将高维数据降低到低维空间中，提高数据处理的效率。 5. 相关系数 通过 PCA，我们可以计算出每个主成分之间的相关系数ρ(Xj, Zi)，并且可以证明 ρ2j·1···m = m�i=1ρ2(Xj, Zi) = m�i=1λiq2ji / σjj。 6. 标准化主成分 通过对 X 的标准化，我们可以得到一个新的随机变量 X∗，其均值为 0，协方差矩阵为 Σ。然后，我们可以对 X∗ 进行主成分分析，得到新的主成分 Z∗。 本节对应用多元统计分析II pdf 中的知识点进行了总结和解释，涵盖了主成分分析的数学推导、性质、应用等方面的内容。