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机器人学习,向量矩阵算法
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2023-11-22
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矩阵求导是一类贯穿机器学习,微分方程,概率统计,控制论,凸优化等诸多数学学科的极其重要的操作,遗憾的是,在许多工科专业大学阶段的课本中鲜有系统讲解这部分知识的章节,而许多论文默认读者已经具备了矩阵求导的能力,所以我们值得花时间好好讨论一下如何进行矩阵求导。 机器人人学习计算模型能力,向量矩阵算法讲解PDF及python示例。 通过学习模型计算能力库,快速掌握计算默认算法原理以及扩展计算逻辑能力。
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Page 1 | Chapter 1 不止向量 | Book 4《矩阵力量》 | 鸢尾花书:从加减乘除到机器学习
本 PDF 文件为作者草稿,发布目的为方便读者在移动终端学习,终稿内容以清华大学出版社纸质出版物为准。
版权归清华大学出版社所有,请勿商用,引用请注明出处。
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欢迎大家批评指教,本书专属邮箱:jiang.visualize.m[email protected]
1
Vector and More
不止向量
一个有关向量的故事,从鸢尾花数据讲起
科学的每一次巨大进步,都源于颠覆性的大胆想象。
Every great advance in science has issued from a new audacity of imagination.
—— 约翰·杜威 (John Dewey) | 美国著名哲学家、教育家、心理学家 | 1859 ~ 1952
◄ sklearn.datasets.load_iris() 加载鸢尾花数据
◄ seaborn.heatmap() 绘制热图
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不止向量
有数据的地方,就有矩阵
有矩阵的地方,就有向量
有向量的地方,就有几何
有向量的地方,就有空间
有数据的地方,必有统计
Page 3 | Chapter 1 不止向量 | Book 4《矩阵力量》 | 鸢尾花书:从加减乘除到机器学习
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1.1 有数据的地方,就有矩阵
本章主角虽然是向量 (vector),但是这个有关向量的故事先从矩阵 (matrix) 讲起。
简单来说,矩阵是由若干行或若干列元素排列得到的数组 (array)。矩阵内的元素可以是实
数、虚数、符号,甚至是代数式。
从数据角度来看,矩阵就是表格!
鸢尾花数据集
数据科学、机器学习算法和模型都是“数据驱动”。没有数据,任何的算法都玩不转,数据是
各种算法的绝对核心。优质数据本身就极具价值,甚至不需要借助任何模型;反之,垃圾进,垃
圾出 (Garbage in, garbage out, GIGO)。
本书使用频率最高的数据是鸢尾花卉数据集。数据集的全称为安德森鸢尾花卉数据集
(Anderson's Iris data set),是植物学家埃德加·安德森 (Edgar Anderson) 在加拿大魁北克加斯帕半岛
上的采集的鸢尾花样本数据。图 1 所示为鸢尾花数据集部分数据。
Index
Sepal length
X
1
Sepal width
X
2
Petal length
X
3
Petal width
X
4
Species
C
1
2
3
49
Setosa
C
1
50
51
Versicolor
C
2
52
53
99
100
101
102
103
149
Virginica
C
3
150
5.1 3.5 1.4 0.2
4.9 3 1.4 0.2
4.7 3.2 1.3 0.2
5.3 3.7 1.5 0.2
5 3.3 1.4 0.2
7 3.2 4.7 1.4
6.4 3.2 4.5 1.5
6.9 3.1 4.9 1.5
5.1 2.5 3 1.1
5.7 2.8 4.1 1.3
6.3 3.3 6 2.5
5.8 2.7 5.1 1.9
7.1 3 5.9 2.1
6.2 3.4 5.4 2.3
5.9 3 5.1 1.8
... ... ... ......
... ... ... ......
... ... ... ......
图 1. 鸢尾花数据,数值数据单位为厘米 (cm)
图 1 给出的这些样本都归类于鸢尾属下的三个亚属,分别是山鸢尾 (setosa)、变色鸢尾
(versicolor) 和维吉尼亚鸢尾 (virginica)。每一类鸢尾花收集了 50 条样本记录,共计 150 条。
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鸢尾花四个特征被用作样本的定量分析,它们分别是花萼长度 (sepal length)、花萼宽度 (sepal
width)、花瓣长度 (petal length) 和花瓣宽度 (petal width)。
注意,本书用大写、粗体、斜体字母代表矩阵,比如 X、A、Σ、Λ。特别地,本书用 X 代
表样本数据矩阵,用 Σ 代表方差协方差矩阵 (variance covariance matrix)。本书用小写、粗体、斜
体字母代表向量,比如 x、x
1
、x
(1)
、v。
如图 2 所示,本书常用热图 (heatmap) 可视化矩阵。不考虑鸢尾花分类标签,鸢尾花数据矩阵
X 有 150 行、4 列,因此 X 也常记做 X
150 × 4
。
行向量、列向量
前文提到,矩阵可以视作由一系列行向量、列向量构造而成。
反向来看,矩阵切丝、切片可以得到行向量、列向量。如图 2 所示,X 任一行向量 (x
(1)
、
x
(2)
、…、x
(150)
) 代表一朵鸢尾花样本花萼长度、花萼宽度、花瓣长度和花瓣宽度测量结果。而 X
某一列向量 (x
1
、x
2
、x
3
、x
4
) 为鸢尾花某个特征的样本数据。
X
150 × 4
x
(i)
150 × 4
150 × 4
x
j
图 2. 矩阵可以分割成一系列行向量或列向量
图片
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MaAidan
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