根据提供的文件信息，我们可以提取并总结出与金融领域中的投资组合理论相关的几个核心知识点：
### 一、金融投资组合理论基础
#### 组合理论在金融中的应用
**投资组合理论**是金融学中的一个重要分支，它研究如何通过合理配置不同资产来最大化投资收益的同时控制风险。本章节主要涉及了投资组合理论中的一个具体模型——资产价格遵循指数布朗运动（Exponential Brownian Motion）的假设，并基于此进行了进一步的分析。
### 二、指数布朗运动模型
#### 指数布朗运动的基本形式
指数布朗运动模型可以表示为：
\[ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \]
其中，$S_t$ 表示资产的价格，$\mu$ 是预期收益率，$\sigma$ 是波动率，$W_t$ 是标准布朗运动。
#### 对数变换
对上式进行对数变换得到：
\[ d(\log S_t) = (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)dt + \sigma dW_t \]
通过解这个随机微分方程(SDE)，我们可以推导出资产价格 $S_t$ 的分布特征。具体地，给定初始条件 $S_0=s$，资产价格 $S_t$ 的期望值为：
\[ E_P[S_t | S_0=s] = se^{\mu t} \]
### 三、随机过程的转换
#### 转换公式
对于给定的常数 $k$ 和随机过程 $R_t = S_t^k$，其遵循的随机微分方程为：
\[ dR_t = R_t \left(k\mu + \frac{1}{2}(k-1)\sigma^2\right)dt + k\sigma dW_t \]
即：
\[ \frac{dR_t}{R_t} = k\mu + \frac{1}{2}(k-1)\sigma^2 dt + k\sigma dW_t \]
#### 马尔可夫过程
为了使 $R_t$ 成为马尔可夫过程，我们需要找到合适的 $k$ 值。根据上面的公式，当且仅当系数 $(k\mu + \frac{1}{2}(k-1)\sigma^2)$ 等于零时，$R_t$ 才是一个马尔可夫过程。因此，可以通过求解方程得到：
\[ k = -\frac{2\mu}{\sigma^2} + 1 \]
### 四、概率测度变换
#### 概率测度变换的基础
本部分介绍了一个重要的概念：概率测度变换。通过定义新的概率测度 $Q$，我们可以在不同的概率空间下计算随机变量的期望值。具体地，定义一个随机变量 $\eta_t$ 为：
\[ \eta_t = e^{-\theta^2/2t - \theta W_t} \]
其中，$\theta$ 是一个常数。我们可以证明 $\eta_t$ 是一个马尔可夫过程，并且在 $P$ 测度下的期望值为 $1$。
#### 期望值计算
接着，通过定义一个新的概率测度 $Q$ 为：
\[ \frac{dQ}{dP} = \eta_T \]
其中 $T > 0$。利用这个新的概率测度，我们可以计算 $Q$ 测度下随机过程 $R_t = S_t^k$ 在时间区间 $(0, T)$ 内的期望值。
### 五、随机过程的微分形式
#### 随机过程的微分形式
对于标准布朗运动 $W_t$，我们可以考虑一个随机过程 $Y_t = W_t^{2n}$，其中 $n$ 是整数。通过伊藤引理，我们可以计算 $Y_t$ 的微分形式，进而得到 $Y_t$ 的期望值随时间变化的微分方程。
\[ \frac{df_n(t)}{dt} = n(2n-1)f_{n-1}(t) \]
#### 指数布朗运动的积分形式
我们还考虑了一个随机过程 $Y_t = e^{\sigma W_t - \frac{1}{2}\sigma^2 t}$。通过将随机微分方程转换为积分形式，我们可以计算 $Y_t$ 的期望值和其他统计性质。这有助于理解在指数布朗运动模型下，资产价格的动态特性及其长期行为。
这些知识点涵盖了投资组合理论中的一些基本概念和技术，包括指数布朗运动模型、随机过程的转换以及概率测度变换等，这些都是现代金融理论的重要组成部分。
