应用2：BP神经网络的非线性系统建模——非线性函数拟合

BP神经网络（Back Propagation Neural Network），即反向传播神经网络，是人工神经网络中的一种多层前馈神经网络，通过误差反向传播进行训练。在非线性系统建模中，BP神经网络能够通过学习输入与输出之间的非线性映射关系，完成非线性函数的拟合任务，非常适合处理那些难以用数学方程精确描述的复杂系统。 BP神经网络的主要工作原理是利用反向传播算法进行学习，通过调整网络内部的权值和阈值来最小化预测输出与实际输出之间的误差。网络一般分为输入层、隐含层（一个或多个）和输出层。在非线性系统建模中，输入层接收系统的输入参数，隐含层进行复杂非线性转换，输出层输出最终的预测结果。 案例背景中提到，在工程应用中遇到的复杂非线性系统难以用精确的数学模型来描述。针对这类问题，可以采用BP神经网络作为黑箱模型，通过系统输入输出数据的训练来拟合系统的非线性行为。本案例中，拟合的非线性函数为y = x1^2 + x2^2，这是一个典型的二维非线性函数，其图形是一个开口向上的曲面。 在模型建立的过程中，可以将基于BP神经网络的非线性函数拟合算法流程分为三个步骤：网络构建、网络训练和网络预测。网络构建需要根据所要拟合函数的特点确定网络结构，在本案例中，由于函数有两个输入参数和一个输出参数，所以网络结构被确定为2-5-1，即输入层有两个节点、隐含层有五个节点、输出层有一个节点。网络训练则是通过提供大量的训练样本数据来完成，本案例中使用了2000组输入输出数据，其中1900组用于训练，100组用于测试网络的拟合性能。网络预测阶段，利用已经训练好的网络，根据新的输入数据预测输出结果。 Matlab神经网络工具箱提供了丰富的函数用于BP神经网络的构建、训练和预测，使用者可以基于自己的需求调用相应的子程序，避免编写复杂的程序代码。其中newff函数用于创建BP神经网络，train函数用于训练神经网络，sim函数用于利用训练好的网络进行预测。 在实现BP神经网络时，需要对输入数据进行预处理，比如归一化处理，以提高网络训练的效率和预测的准确性。归一化通常把数据缩放到[0, 1]的范围内，这样可以避免神经网络训练过程中出现梯度消失或爆炸的问题。 Matlab神经网络工具箱中包含感知器、线性网络、BP网络、径向基网络、自组织网络和回归网络等多种网络类型。BP网络的主要函数包括newff、train和sim。其中，newff函数可以设定网络参数并构建网络结构，train函数通过输入数据和目标数据对网络进行训练，而sim函数则用来进行网络的预测。 在程序代码部分，通过Matlab编程语言完成了数据的预处理、模型的构建、网络的训练与预测等步骤。通过模拟案例中的操作，可以得到网络训练过程中的误差变化情况和预测结果的准确性分析，这有助于用户理解BP神经网络在非线性函数拟合中的应用。 BP神经网络是一种非常有效的非线性系统建模工具，在Matlab软件中通过神经网络工具箱可以较为简便地实现BP神经网络的建模和预测。通过本案例，可以学习到如何应用BP神经网络进行复杂系统的建模，并掌握使用Matlab进行神经网络模型构建和预测的具体方法。