高数知识点整理

### 高数知识点整理 #### 一、函数的定义与基本概念 **1.1 函数的定义** 函数是数学中的一个基本概念，用于描述两个变量之间的依赖关系。定义如下： - **定义1：** - 设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个给定的数集。 - 如果对于每个数$x \in D$，变量$y$按照一定法则总有唯一确定的数值与其对应，则称$y$是$x$的函数，记作$y = f(x)$。 - 数集$D$称为该函数的定义域，$x$称为自变量，$y$称为因变量。 - 当自变量$x$取数值$x_0$时，因变量$y$按照法则$f$所取定的数值称为函数$f(x)$在点$x_0$处的函数值，记作$f(x_0)$。 - 当自变量$x$遍取定义域$D$的每个数值时，对应的函数值的全体组成的数集$W=\{y|y=f(x), x\in D\}$称为函数的值域。 - **定义2：** - 设$D$与$B$是两个非空实数集。 - 如果存在一个对应规则$f$，使得对$D$中任何一个实数$x$，在$B$中都有唯一确定的实数$y$与$x$对应，则对应规则$f$称为在$D$上的函数，记为$y=f(x)$或$f:D \rightarrow B$。 - 其中，$x$称为自变量，$y$称为因变量。 **1.2 函数的两要素** 函数$y=f(x)$的定义域$D$是自变量$x$的取值范围，而函数值$y$又是由对应规则$f$来确定的，因此函数实质上是由其定义域$D$和对应规则$f$所确定的。也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关。 **1.3 函数的表示方法** 函数有三种常见的表示方法： - **图像法：**利用函数的图形直观地表示函数，这种方法直观性强，可以观察函数的变化趋势，但根据函数图形所求出的函数值准确性不高，不便于理论研究。 - **表格法：**将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数，优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于理论研究。 - **公式法：**用一个或几个公式表示函数，这种方法的优点是形式简明，便于理论研究与数值计算，缺点是不如图像法直观。 #### 二、函数的分类 **2.1 分段函数** 在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数。例如函数$f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{if } x < 0 \\ x + 1 & \text{if } x \geq 0 \end{cases}$就是一个定义在所有实数上的分段函数。 **2.2 参数方程确定的函数** 用参数方程$\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$（$t\in I$）表示的变量$x$与$y$之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数。例如函数$y = x^2 - 1$（$x \in [-1,1]$）可以用参数方程$\begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin^2 t - 1 \end{cases}$（$0 \leq t \leq \pi$）表示。 **2.3 隐函数** 如果在方程$F(x,y)=0$中，当$x$在某区间$I$内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的唯一的$y$值存在，则称方程$F(x,y)=0$在区间$I$内确定了一个隐函数。例如方程$e^x - xy = 0$就确定了变量$y$是变量$x$的函数。 **2.4 显函数与隐函数的关系** 能够表示成$y=f(x)$（其中$f(x)$仅为$x$的解析式）的形式的函数，称为显函数。把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化。例如方程$e^x - xy = 0$可以化成显函数$y=\frac{e^x}{x}$。但有些隐函数确实不可能化成显函数，例如方程$e^{-xy} + e^x = 0$。 #### 三、函数的特性 函数的特性包括奇偶性、单调性、周期性和连续性等。这里主要讨论奇偶性。 **3.1 奇偶性** - **偶函数**：若对于定义域$D$内的任意$x$，满足$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数。 - **奇函数**：若对于定义域$D$内的任意$x$，满足$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。 **图像特点**： - 偶函数的图像关于$y$轴对称。 - 奇函数的图像关于原点对称。 这些基础知识对于理解和学习高等数学中的其他概念至关重要，特别是在进行机器学习算法的基础分析时，掌握这些数学工具能够帮助更好地理解算法的工作原理及其背后的数学逻辑。