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Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN
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Geometry and Algorithms for
COMPUTER AIDED DESIGN
Erich Hartmann
Department of Mathematics
Darmstadt University of Technology
October 2003
2
Contents
1 INTRODUCTION 7
1.1 Methods for DISPLAYING objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 On the contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Software for displaying curves and surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 On literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 TOOLS 11
2.1 Structure of a CAD-program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Global constants: The file ”geoconst.pas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Globale types: The file ”geotype.pas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Globale variables: The file ”geovar.pas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4 Capability of the graphics software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Functions on IR, operations with vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Functions on IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Operations with vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Routines to Analytic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Polarangle and quadratic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Intersection line–line, circle–line, circle–circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Equation of a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.4 Intersection line–plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.5 Intersection of three planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.6 Intersection of two planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.7 ξ-η–coordinates of a point in a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.8 Coordinates with respect of a new 3D-coordinate system . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Numeric: GAUSS-elimination, NEWTON-iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 PARALLEL/CENTRAL–PROJECTION 21
3.1 Orthographic Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 The projection formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Procedures for orthographic projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Central projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 The projection formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Procedures for central projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 CURVES 27
4.1 Planar Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1 Definition and Representations of Planar Curves . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2 Arc length and curvature of a planar curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.3 Offset Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.4 The normalform of a planar curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3
4.2 Displaying Parametric Curves in IR
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Displaying implicit curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.1 Marching algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.2 Raster algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Intersection of two planar curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4.1 Intersection of a parametric curve and an implicit curve . . . . . . . . . . . . 38
4.4.2 Intersection of two implicit curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.3 Intersection of two parametric curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 Foot points on planar curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5.1 Foot point on a parametric curve, curve inversion . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5.2 Foot point on an implicit curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5.3 Stable first order foot point algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.6 B´ezier–curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.7 Applications of the normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.7.1 Offset curves of implicit curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.7.2 Bisector c urves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.7.3 Numerical Parameterization of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.8 Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 SURFACES 49
5.1 Definition and Representations of Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 The First and Second Fundamental Forms of a Surface . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.1 The first fundamental form, arc length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.2 The sec ond fundamental form, curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Offset s urfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Normalform of a surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.1 Definition of the normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.2 On the first and second derivatives of the normalform of a surface . . . . . . 53
5.4.3 C
n
–contact, G
n
–contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4.4 G
2
–continuity theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.5 The curvature of an intersection curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Normalform of an implicit surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.6 Normalform of a parametric surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.7 Foot point on a parametric surface, surface inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.8 Stable first order foot point algorithms for surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.8.1 Foot point algorithm for parametric surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.8.2 Foot point algorithm for implicit surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.9 The normalform of a space curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.9.1 Definition of the normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.9.2 Foot point algorithm and evaluation of the normalform of a space curve . . . 63
5.9.3 Determining foot points on an intersection curve . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.10 Applications of normalforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.10.1 Approximation of a set of intersecting surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.10.2 Approximation of intersecting pipe surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.10.3 Numerical parametrization of implicit surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 HIDDENLINE–ALGORITHM FOR NON CONVEX POLYHEDRONS 67
6.1 The Hiddenline-Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Auxiliary procedures for the hiddenline algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2.1 The procedure aux polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2.2 The procedures aux quadrangle, aux cylinder, aux torus and displaying
a parametrized surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4
6.3 Intersection of faces, intersection of two polyhedrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.1 Intersection of faces bounded by planar polygons in IR
3
. . . . . . . . . . . . 74
6.3.2 Intersection of two polyhedrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.4 IS line–polygonal patch, IS polygon–polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4.1 Intersection of a line segment and a planar p olygonal patch . . . . . . . . . . 78
6.4.2 Intersection points of a polygon and a polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 TRIANGULATION OF IMPLICIT SURFACES 81
7.1 The triangulation algorithm (marching method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.1.1 The idea of the algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.1.2 The procedure surfacepoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.1.3 The data structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.1.4 Step S0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.1.5 Step S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.1.6 Step S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.1.7 Step S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2.1 Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2.2 Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2.3 Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2.4 Set of two intersecting surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2.5 G
2
-continuous blending of three cylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.3 Sample program: trisample.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.4 Ray tracing of triangulated surfaces with POVRAY . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8 INTERSECTIONS: CURVE – SURFACE, SURFACE – SURFACE 93
8.1 Intersection Curve – Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.1 IS parametric curve – implicit surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.2 IS implicit curve – implicit surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.3 IS implicit curve – parametric surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.1.4 IS parametric curve – parametric surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.2 Intersection surface – surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.2.1 IS of two implicit surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.2.2 IS of an implicit and a parametric surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2.3 IS of two parametric surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.3 Contour lines of surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.3.1 Contour line of an implicit surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.3.2 Contour line of a parametric surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.3.3 Contour line of a quadric surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.4 Hiddenline–algorithm for simple cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.4.1 Fast normal–test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.4.2 Ray–test for implicit surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9 CONICS AND QUADRICS 105
9.1 Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.1.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.1.2 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.1.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.1.4 Equation of a conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.1.5 Conics in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.2 Quadrics: ellipsoid, cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.2.1 Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5
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