怎样求函数的值域.pdf

函数值域求法汇总 函数的值域是数学中一个重要的概念，对于学生来说，求函数的值域是一件头疼的问题。为了帮助学生更好地理解和掌握函数的值域，我们将常用的求函数值域的方法总结如下。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可以通过观察得到。例如，求函数 y = 3 - x 的值域。解：x ∈ (-∞, +∞)，故函数的值域是（-∞，3］。 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例如，求函数 y = 2x^2 - 2x + 5，x ∈ [-1, 2] 的值域。解：将函数配方得：y = (x - 1)^2 + 4，x ∈ [-1, 2]，由二次函数的性质可知：当 x = 1 时，y_min = 4，当 x = -1 时，y_max = 8。故函数的值域是 [4, 8]。 3. 判别式法 判别式法是一种常用的求函数值域的方法。例如，求函数 y = 2x^2 + 11x - 6 的值域。解：原函数化为关于 x 的一元二次方程（y - 1）^2 - x + (y - 1) = 0。解得：y ∈ [21, 23]。 4. 反函数法 反函数法可以用来求函数的值域。例如，求函数 y = 6^x / x 的值域。解：由原函数式可得：x = 3^y / y，则其反函数为：y = 3^x / x。其定义域为：x ≠ 0。故所求函数的值域为：(-∞, 0) ∪ (0, +∞)。 5. 函数有界性法 函数有界性法可以用来求函数的值域。例如，求函数 y = 1 / x^2 的值域。解：由原函数式可得：x^2 > 0，故 x ≠ 0。解得：y > 0。故所求函数的值域为 (0, +∞)。 6. 函数单调性法 函数单调性法可以用来求函数的值域。例如，求函数 y = 2^x + log3(x) 的值域。解：令 y1 = 2^x，y2 = log3(x)，则 y1 和 y2 在 [2, 10] 上都是增函数。故函数的值域为 [81, 33]。 7. 换元法 换元法可以用来求函数的值域。例如，求函数 y = x + 1 / x 的值域。解：令 x - 1 = t，则 x = 2t + 1。解得：y = 2t + t + 1 = 2(t + 1/4)，又 t ≥ 0，由二次函数的性质可知当 t = 0 时，y_min = 1，当 t → +∞ 时，y → +∞。故函数的值域为 [1, +∞)。 8. 数形结合法 数形结合法可以用来求函数的值域。例如，求函数 y = x^2 + 1 / x^2 的值域。解：由原函数式可得：y = (x + 1/x)^2 - 2，故函数的值域为 [2, +∞)。