### 数据包络分析(DEA)及其Matlab实现
#### 一、数据包络分析(DEA)简介
数据包络分析(Data Envelopment Analysis, DEA)是一种用于评估决策单元(Decision Making Units, DMUs)效率的非参数方法。它主要用于比较具有相同输入与输出的组织或单位之间的相对效率。在DEA中，每个DMU由一组输入和输出组成，通过对这些DMU进行建模来评估其效率。
#### 二、DEA的基本原理
DEA通过构建一个生产前沿面来衡量效率，这个前沿面是由最有效的DMU构成的。该方法假设存在一个“理想”的生产边界，所有DMU都位于这个边界之内或之上。位于边界的DMU被认为是有效的，而其他DMU则被认为是无效的。通过将每个DMU与前沿面上的点进行比较，可以确定其效率水平。
#### 三、DEA模型的MATLAB实现
本节将详细介绍如何使用MATLAB来实现两种不同的DEA模型：C2R模型和Dε模型。
##### (1) C2R模型
**步骤1：输入和初始化**
```matlab
X = []; % 用户输入多指标输入矩阵X
Y = []; % 用户输入多指标输出矩阵Y
n = size(X', 1); % 输入向量数量
m = size(X, 1); % 输入向量维度
s = size(Y, 1); % 输出向量维度
A = [-X' Y']; % 构造矩阵A
b = zeros(n, 1); % 构造向量b
LB = zeros(m + s, 1); % 构造向量LB
UB = []; % 构造向量UB
```
**步骤2：求解线性规划问题**
对于每一个决策单元DMU_i，需要解如下的线性规划问题：
```matlab
for i = 1:n
f = [zeros(1, m) -Y(:, i)']; % 目标函数
Aeq = [X(:, i)' zeros(1, s)]; % 等式约束
beq = 1; % 等式约束右边的常数项
w(:, i) = linprog(f, A, b, Aeq, beq, LB, UB); % 求解线性规划问题
E(i, i) = Y(:, i)' * w(m + 1:m + s, i); % 计算相对效率值
end
```
其中，`w`表示最优权重向量，`E`表示相对效率值。
**步骤3：输出结果**
```matlab
w % 输出最佳权向量
E % 输出相对效率值Eii
Omega = w(1:m, :); % 输出投入权向量。
mu = w(m + 1:m + s, :); % 输出产出权向量。
```
##### (2) Dε模型
**步骤1：输入和初始化**
```matlab
X = []; % 用户输入多指标输入矩阵X
Y = []; % 用户输入多指标输出矩阵Y
n = size(X', 1); % 输入向量数量
m = size(X, 1); % 输入向量维度
s = size(Y, 1); % 输出向量维度
epsilon = 10^-10; % 定义非阿基米德无穷小ε
f = [zeros(1, n) -epsilon * ones(1, m + s) 1]; % 目标函数的系数矩阵
A = zeros(1, n + m + s + 1); b = 0; % <=约束
LB = zeros(n + m + s + 1, 1); UB = []; % 变量约束
LB(n + m + s + 1) = -Inf; % 下限为负无穷大
```
**步骤2：构造并求解线性规划问题**
```matlab
for i = 1:n
Aeq = [X eye(m) zeros(m, s) -X(:, i)
Y zeros(s, m) -eye(s) zeros(s, 1)];
beq = [zeros(m, 1)
Y(:, i)];
w(:, i) = linprog(f, A, b, Aeq, beq, LB, UB); % 解线性规划问题
end
```
**步骤3：输出结果**
```matlab
w % 输出最佳权向量
lambda = w(1:n, :); % 输出λ
s_minus = w(n + 1:n + m, :); % 输出s-
s_plus = w(n + m + 1:n + m + s, :); % 输出s+
s_plus_theta = w(n + m + s + 1, :); % 输出θ
```
以上就是基于MATLAB的数据包络分析(DEA)C2R模型和Dε模型的实现过程。通过这些模型，可以有效地评估不同决策单元之间的效率，并为管理和决策提供有力的支持。
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