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云计算-W-H定理的推广与伴随阵的数值计算.pdf
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定理1.5133]-设(A.B)与(C.D)为广义正规矩阵对,A(.4,B)=(o。3'L1
A(r.D)=(’,.文1:。.记(.4,B)=z.(C.D)=H’,以及
p((o,,反).(3"J,屯))=p。,,1≤i.J≤n
则存在1.2….11的一个排列女1,12,…,≈。.使得
辱妯㈦Ⅶ’,
其中
., ,.
州啦以),%^))5而尚薪黔丽
dF(2,W)=UHz一(ZZn)一1ZWH(wwH)一1WZH])}
定理1.6f12】:设A=(.4(”,…,A(仉))为m元矩阵柬,口女,(1≤≈≤")为.4
的联立特征值,.4(j)为地阶正规矩阵,j=】,2:…,Ⅲ设B=(B(1)'…,B㈧)为m·
元矩阵束,联立特征值为凤,(1≤女≤”),口(,)为tj阶正规矩阵,J=1:2:…m则
存在1.2…_,1的一个排列,一(1),盯(2),¨.:a(n)使得
注:关于联立特征值的概念参阅本章定义3.2,当rn=1时,上面的不等式退
化为有名的Ho.ffT..an—Wielandt不等式,上面不等式的显著特点是排列盯对所
有的”t个元素同时起作用.
§2关于Adjugate的研究成果、.
设|4为n阶实矩阵,A玎表示A对应于元素(i,j)的余子阵.由A’的定义
-dd(A21)
det(A22)
l。)(-1)2+“det(A2。)…(-1)“dd(A。。)
从上面的式子看出。直接根据定义计算4’计算量是很大的.计算每个托一1余
子阵的行列式需要§(n一1)3次乘法运算。计算n2个n一1余子阵的行列式则需要
}(n一1)3×n2次乘法运算,计算量是很大的.在实际应用中,对于较高阶矩阵,此
种计算方法实用价值不大.针对此问题要寻找较好的算法计算A的伴随矩阵月。.
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“㈣:拟
“d
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删抛
P
一
=
A
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把
.4.4’=d耐(.4)厶
理解为方程组.若首先计算det(.4),接着对A作部分主元LU分解,部分主元QR
分解或SVD分解计算量量级为O(n3).随后解n个线形方程组,且计算量量级应
为0(n3)的.把A’按列分块为
把A按行分块
则由行列式展开得
而
4’=(0‘“,…,a∽
A=(。j,a;,…,o:)丁
det(A)=a知∽
AA’=det(A)l。甘Aa‘’)=dct(A)ej=霹a“)ei,厶=[e1,e2,...,e。]
令A划去第J行后所得矩阵记为^,从上式分析,成立
4in(J)=0.J=1,2,.…n
因rank(A)=n,故由A的n一1个行组成的(n一】)×n阶矩阵山是秩为n一】.
从而(1)式的零空间是一维的,由此求得(1)的基础解。并单位化,得t
a(j)=bo‰k,≠o,j=1,2,…,n,
a慰为(1)式单位化基础解.
为求得A的伴随矩阵还需决定b值.易知
Q}(bQ鼢=det(A)
从而
b=da(A)la;crlio{
其中西×a(’’≠0
由此满秩矩阵A的伴随矩阵得出.
结论t此方法适于A为满秩情况.且计算量主要花费在解n一1阶方程组4a(,)=
o,j=1,2,…,n上.大约需要{(n—1)3×n计算量,量级为n4;当n值较大时消
耗的时间不可忽视.
6
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Stewart研究了n阶方阵.4非奇异时,.4的伴随矩阵∥的扰动与A4的计算
方法.
设n阶方阵A非奇异,有奇异值分解
.4:USVr
其中f,,V为正交矩阵.
又记
∑=diag(e1,口2,...,口。),F。≥0
m=II
O"k
k壬。
%=II口k
k≠t,J
则据小=det(A)A~,得出
A‘=det(u)det(y)yruT
其中F=diag(7】【,72,…,%)
定理2.1143]设E=(‘“)为4的一个扰动,(4+曰)4=A‘+F.则
(1)
其中豆=UTEV,并记p=UTFV.
用矩阵的语言把(1)式右端第一项写成如下形式
M+(E—D舍)oN
其中M是(1)中矩阵的对角阵,
N=(均),%=0,i=1,2,…,n
o表示
hadamard(componentwise)积,7。p1是mJ的上界.我们有
M
J
J2≤IID岔II:%,一1≤(”一1)llj?Jl:{*;。。一-
由Schur[6]定理的推广(豆一D童)oN以lI应一D刮。和N的各列2-norm最大者
之积为上界.即
L
L(k—D亩)oⅣIl。≤、/而11豆一D童112%,。一f
从而得出
I
JFIIz≤(n一1+、/两)%.。一z¨EIl。+o(1lEIl;)
7
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揣≤(n-1+舸)半涨俐阳
因此有
涨外-1+舸)击黼+。(I
L明
得到非奇异矩阵A的伴随阵A+的一阶扰动界限.Stewart针对可逆阵A,给出
了相应的计算方法.
,
设可逆阵A=XDY,D为对角矩阵,x,y求逆为良态的.
Stewart的计算A’的步骤如下:
stepl.U=X一1
5tcp2.V=D一1
U
step3.W=、.~1
X
8
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