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保序［口１归的算法及麻用

第一章绪论

１．１保序回归的背景介绍

在药物剂量反应中，我们感兴趣的是，随着药物剂量的增加，疗效或副作用

通常会呈现一定的趋势，比如：剂量越高，疗效越好；剂量越高，毒性越大等等。

临床试验研究的主要目标之一就是评估药物在不同剂量水平下的毒性，并且

建议一个对病人既安全又有效的剂量，即最大耐受剂量（Ｍａｘｉｍｕｍ

Ｔｏｌｅｒａｔｅｄ

Ｄｏｓｅ），简记为ＭＴＤ。固定价递增的剂量水平，假定随着剂量的增加，药物的毒

性概率是非减的。预先给定毒性靶水平，所谓靶水平是可接受的最大毒性概率，

ＭＴＤ被定义为毒性概率不超过毒性靶水平的最高剂量水平。连续招募病人进行试

验，直到确定最佳估计的ＭＴＤ。

临床试验通常假定随着剂量的增加，药效和毒性也是增加的。

然而基于每

个剂量水平下病人毒性反应的比率估计不同，剂量水平下的毒性概率可能不是剂

量水平的非减函数。于是我们可以采用保序回归方法（参见Ａｙｅｒ

ｅｔ

ａ１．（１９５５），

Ｂａｒｌｏｗ

ｅｔ

ａ１．（１９７２），Ｒｏｂｅｒｔｓｏｎ

ｅｔ

ａ１．（１９８８））。一般地，设有价递增的剂

量水平西≤吐≤…≤农。令Ⅳ，和Ｒ，分别表示在剂量水平ｄ，下的试验人数和出现

中毒反应的人数。对于任一低于Ｚ的剂量４（，．≤ｆ）和任一高于Ｚ的剂量以（ｓ≥ｆ），

记

则毒性概率Ｂ的保序回归估计为

∑ｑ

所．Ｉ＇，＝｝

∑Ｍ

ｊ＝ｒ

Ａ

２罂嘴Ｐ，，，声

这就是保序回归的背景及其实际应用，其计算方法主要是ＰＡＶＡ（Ｐｏｏｌ

Ａｄｊｅｃｅｎｔ

Ｖｉｏｌａｔｏｒｓ

Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）法，该算法是Ａｙｅｒ

ｅｔａｌ．（１９５５）提出的。

江西师范大学硕上学位论文

１．２保序回归的发展现状

约束条件下的统计推断已经成为统计分析的一个重要领域，保序回归是约束

条件下的统计推断的典型问题。保序回归的研究从２０世纪中叶就已经开始，到

六十年代，保序回归得到了广泛的重视。Ｂａｒｔｈｏｌｏｒｅｍｅｗ，Ｂａｒｌｏｗ等对此进行了

研究，并且于１９７２年联合出版了保序回归的第一本专著《Ｔｈｅ

ｔｈｅｏｒｙ

ａｎｄ

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

ｏｆ

Ｉｓｏｔｏｎｉｃ

Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ｝，使得保序回归问题得到了进一步的重

视和发展，成为热门话题。

保序回归是在约束条件下的一种回归，它的一个很重要的计算方法是ＰＡＶＡ

算法。它是以全序为例给出的算法，是Ａｙｅｒ

ｅｒａｌ．（１９５５）提出的。对于其他的

半序，也在此基础上给出了类似的算法。比如，对于伞型半序，Ｓｈｉ（１９８８ａ）提出

了一个基于ＰＡＶＡ算法求保序回归的方法。与上述算法有关的子程序，可以在

ｇｒａｎ（１９８０），Ｇｅｎｇ

ａｎｄ

Ｓｈｉ（１９９０）找到。另外，Ｒｏｂｅｒｔｓｏｎ

ｅｔ

ａ１．（１９８８）给出了

保序回归的最大最小公式；Ｍｉｃｈａｅｌ

Ｊ．Ｂｅｓｔ

ａｎｄ

Ｎｉ

ｌｏｔｐａｌ

Ｃｈａｋｒａｖａｒｔｉ（１９９０）

也给出了ＭＬＳ（Ｍｉｎｉｍｕｍ

Ｌｏｗｅｒ

ｓｅｔｓ）等算法并证明其所得解为保序回归的解。

在保序回归和最大似然估计这方面的工作中，对二项分布、几何分布、泊松

分布和ｒ分布等都进行了详细的讨论，这些可以在Ｒｏｂｅｒｔｓｏｎ

ｅｔ

ａ１．（１９８８）中

找到，并总结出：指数分布族下，全序约束下的最大似然估计就是无约束的最大

似然估计的保序回归。Ｓｈｉ（１９９３）也对此进行了研究，Ｓｈｉ在文中还对保序回归

的优良性进行了讨论。刑务强（２００４）对保序回归解的大样本性质给出了详细证

明。关于指数分布，也有讨论，但结果很不理想（Ｖｉｊａｙａｓｒｅｅ

ａｎｄ

Ｓｉｎｇｈ，１９９１）。

关于正态均值和标准差的比也有相关讨论（Ｃｈｏｕ

ａｎｄ

Ｏｗｅｎ，１９９１）。

多维保序回归是由Ｓａｓａｂｕｃｈｉ

ｅｔ

ａ１．（１９８３）提出的，Ｓｈｉ

ａｎｄ

Ｇｅｎｇ（１９９２）

给出了相关的一般算法，同时还给出了一个子程序。Ｄｙｋｓｔｒａ

ａｎｄ

Ｒｏｂｅｒｔｓｏｎ（１９８２），

Ｒｏｂｅｒｔｓｏｎ

ｅｔ

ａ１．（１９８８），

Ｂｕｒｄａｋｏｖ，Ｇｒｉｍｖａｌ

１，ａｎｄ

Ｈｕｓｓｉａｎ（２００４）讨论了一类多变量全序约束下的估计问题，类似一维保序回归，

对一类指数分布族，求多维保序回归的最小解与求参数在约束下的ＭＬＥ是一致

的。

在现有的研究成果中，还对广义保序回归进行了讨论。在正态分布下，求广

义保序回归的最小解与求带约束的正态均值的ＭＬＥ是等价的，更为一般的结果可

２

保序ｐＩ归的算法及戍用

以在Ｋｕｄｏ

ａｎｄ

Ｃｈｏｉ（１９７５），Ｗｙｎｎ（１９７５），Ｎｏｍａｋｕｃｈｉ（１９８３），Ｓｈａｐｉｒｏ（１９８５，１９８８），

Ｒａｕｂｅｒｔａｓ

ａｎｄ

Ｌｅｅ（１９８６），Ｓｈｉ（１９８８，ｂ）中找到。

保序回归问题也越来越多的被引入到二次的凸规划问题中，如Ｂｅｓｔ

ａｎｄ

Ｃｈａｋｒａｖａｒｔｉ（１９９０）ａｎｄ

Ｂｅｓｔ，Ｃｈａｋｒａｖａｒｔｉ，ａｎｄ

Ｕｂｈａｙａ（２０００）。近年来，应

用保序回归解决数学规划问题在Ａｈｕｊａ

ａｎｄ

Ｏｒｌｉｎ（２００１），ａｎｄ

Ｈａｎｓｏｈｍ（２００７）中

也可以找到。

以上提到的保序回归主要为经典的保序回归，即厶保序回归，在Ｓｈｉ（１９９３）

中最后给出了保序回归的一个自然推广：工。保序回归，文中提到，针对厶保序

回归是样本中位数的函数，而样本中位数比样本均值具有稳健性（Ｓｔｉｇｌｅｒ，

１９７３），因此设想厶保序回归比三，保序回归更具有稳健性。

本文中我们就是要讨论厶保序回归，针对厶保序回归给出ＰＡＶＡ算法，并详

细的证明了该迭代算法收敛到的值就是对应最优化问题的解，类似厶保序回归，

发现厶保序回归与约束条件下双边指数分布的最大似然估计等价，并且证明其参

数估计值具有相合性和渐近正态性；由厶保序回归和厶保序回归的ＰＡＶＡ算法思

想及该两种保序回归与最大似然估计的关系，本文在最后针对带约束的一类最大

似然估计的求解，给出了一个比较直接的迭代方法。

１．３本文的工作意义与工作安排

６‘

基于已有的相关成果，本文在厶保序回归的基础上进一步推广，工作意义

是：给出厶保序回归的ＰＡＶＡ算法和详细的证明过程，其所得解比三：保序回归解

更具有稳健性。类似￡，保序回归，给出厶保序回归与最大似然估计的关系，在

密度函数不可导的情况下简化最大似然估计值的求解过程，并且能够求出全序条

件下极大似然的估计值，同样也证明出其所求解具有相合性和渐近正态性。由第

二章与第三章的结论我们知道，厶保序回归与厶保序回归的算法都是利用ＰＡＶＡ

思想，因此在第四章中直接将ＰＡＶＡ与最大似然估计的求解联系起来，针对一类

全序约束下最大似然估计给出了更直接的求解方法。

具体工作安排如下：

１、厶保序回归与最大似然估计。主要是介绍厶保序回归的定义、算法和定

理，并且在一类指数分布族下，带全序约束的最大似然估计是无序约束的最大似

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