《大数据-算法-扭曲函数与保险定价》这篇硕士论文探讨了大数据时代下，保险定价领域中非线性数学期望——尤其是扭曲函数的应用。在传统的风险定价和效用理论中，可加测度占据核心地位，但实际市场中，如保险和某些金融市场的价格函数往往呈现出非可加性，即两个风险的总价格可能小于或等于各自风险的价格之和。这引发了如Allais悖论和Ellesberg悖论等问题。
Choquet在1953年引入了容度（非可加测度）的概念，随后Choquet积分作为数学期望的一种扩展，逐渐在经济学中得到广泛应用，尤其是在金融产品定价和保险定价中。Wang等人的工作在1996年和1997年推动了非线性数学期望在保险市场中的公理化体系，他们提出了保费函数的概念，并在此基础上，论文深入研究了保费原则和扭曲函数g。
论文分为五个部分。第一部分介绍了研究的背景和问题。第二部分提供了预备知识，包括容度、生存函数、扭曲函数与扭曲概率、Choquet积分等基本概念，以及在保险定价中重要的共单调性和相关序的结果。例如，定理2.7表明，如果保费原则保持停止损失序，那么满足特定条件的风险组合将遵循一定的价格顺序。
第三部分是论文的核心，探讨了风险保费的Choquet积分表示。提出了保费函数应具备的条件，如状态独立性、单调性、共单调可加性、连续性和规范性，并证明了扭曲函数g的存在性和唯一性定理。这一部分还揭示了扭曲函数g为凹函数时，对于某些特定风险，保费价格可以由Choquet积分表示。
第四部分涉及条件容度下的保费原则，定义了条件容度的概念和性质，以及相应的Choquet积分特性。例如，定理4.1和4.2阐述了条件容度的单调性、尺度和位移不变性、共单调可加性以及次可加性，同时也讨论了对应的扭曲函数的性质。
第五部分讨论了限额损失再保险的最优性问题，提出了最优再保险合同的形式，并确定了免赔额的计算方式，其中凹扭曲函数g起到了关键作用。
这篇论文通过深入研究扭曲函数和非线性数学期望，为保险定价提供了一种新的分析框架，尤其适用于处理非可加性的市场现象，对大数据时代的风险管理具有重要意义。
