【大数据与算法】在大数据分析领域，算法是关键的工具，用于处理和挖掘海量数据中的有价值信息。二阶拟线性退化抛物方程是一种常见的数学模型，它在物理、力学、生物和金融等多个领域都有应用。这些方程描述了系统随时间演变的动态过程，但它们的退化特性使得在某些条件下没有经典的解。因此，寻找适当的算法来解决这类方程的存在性和唯一性问题是大数据分析中的重要挑战。
【二阶拟线性退化抛物方程】二阶拟线性退化抛物方程涉及到Cauchy问题，即给定初始条件求解方程的问题。在多维空间中，尤其是当方程退化为守恒律型时，找到解的唯一性成为难题。以往的研究主要集中在一维空间上，但在多个空间变量的情况下，对于解的唯一性证明还局限于特定情况。本研究提出了一种新的弱解概念，保留了原来定义的弱解丢失的部分信息，并利用BV函数的间断点集合的Hausdorff测度和Kruzkov技巧，证明了在一定条件下方程的弱解存在且唯一。
【黎曼流形平行性】黎曼流形是现代几何学的基础，其平行性理论在理解流形的几何性质中起着核心作用。论文的第二部分扩展了欧几里得空间中平行射线的概念，将其应用于完备非紧黎曼流形。通过Toponogov比较定理，证明了在曲率有下界的情况下，可以构造与给定射线平行的唯一射线。此外，利用Busemann函数探讨了平行射线的性质，揭示了在截曲率满足特定条件时，流形的平行性质与欧几里得空间的平行性质相似。当截曲率非负时，情况会有所不同，论文也通过核心思想研究了无穷多闭测地线等几何结构问题。
这篇博士学位论文深入研究了大数据分析中的算法问题，特别是针对二阶拟线性退化抛物方程的Cauchy问题，提出了新的解的概念并证明了解的存在唯一性。同时，它还扩展了黎曼流形的平行性理论，为理解和操作复杂数据集提供了新的数学工具。这些研究对于提升大数据分析的精度和效率具有重要意义，也为其他领域的科学研究提供了理论支持。
