2019非数学预赛试题解答.pdf

所需积分/C币:9 2019-10-30 00:14:15 452KB PDF
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这是2019年全国大学生数学竞赛非数类的试题答案解析,可供相关理工科志愿参赛或已参赛者学习参考
知=0φ,所以,所求积分可化为第一型曲面积分 x-ydS -4分 ∑ 设平面P2:==t,-1≤t≤1,其中t为平面P被球面截下部分中心到原点距离 用平面P分割球面∑,球面在平面P,P+t之间的部分形如圆台外表面状,记为∑tat.被积 函数在其上为ex-y=eV2 8分 由于】d半径为=1-t,半径的增长率为d√1-t2=a就是Etdt上下 底半径之差.记圆台外表面斜高为h,则由微元法知dt2+(dv1-t2)=h2,得到 dt 1-L 所以tat的面积为dS=2 eInh=2mdt 12分 1,√2t2dt=√ 2tu1,=√2丌(e e l4分 五、(14分)设是仅有正实根的多项式函数,满足 ∑·试证:> ≥),极限 存在,且等于的最小根 →)+ 证明:由f(x)为仅有正实根的多项式,不妨设的全部根为 0<a1<a2<…<αk,这样, f(x)=A(x-a1'1,(x-ar)k 其中n为对应根a的重数(=1,…,k,k≥1) 2分 ∫(x)=Ar1(x-a1)1-1…(x-ak)k+…+Ark(x-a1)71…(x-ak)k-1 所以,f(x)(x(n+…+xm),从而,一1=a1:+…+m1 6分 若|x|<a1,则 r(x)=n.∑m=0 n ∑n=0 n2+1 而(xDEm20Cnxn,由幂级数的唯一性知 f'( …十 -9分 C a1+x+ a n+1 7+…+/a1)+2 1十2 C +2 d CL k li a11+0+…+0 lim n十1 -12分 n1→Cn+1 n1+0+…+0Q1>0, n→G 1.(lx+…+ln lm一 n→01 inc +In-n+1 从而,imm=a1,即f(x)的最小正根 4分 n→o 六、(14分)设数在+∞上具有连续导数,满足 且 证明:仵在常数>,使得∈+∞时,恒有|≤ 证明:由于′>,所以是+∞上的严格增函数,故 (限 → 或为+∞).下面证明≠+x 2分 ,将所给等式分离变量并积分得∫ 十 6分 其中= -8分 若=+x,则对上式取极限 并利用 得=兀 √一10分 另一方面,令 则 所以函数在 ∞+∞上严格单调增加.因此,当≤时, 但 冗-√兀 矛盾,这就证明了 为有限数 最后,取 则 ,V∈+∞ 14分 4

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