entropic risk constraints for utility maximization

optimal selection of portfolis for utiliyt maximizing investors under joint budget and risk constranints ### 基于熵风险约束下的效用最大化 #### 概述 本文研究了在联合预算和风险约束下，效用最大化投资者的投资组合选择问题。风险通过熵风险度量进行评估，这是一种凸风险度量方法。股票收益满足一个随机微分方程，在此方程中我们假设对漂移项具有部分信息。在对相应的漂移过程的一般性条件下，利用Malliavin微积分提供了最优交易策略。此外，对于幂效用以及漂移为有限状态马尔科夫过程的模型给出了数值结果。 #### 1. 引言与背景 考虑一个银行账户，其利率是随机变化的，并且有n只股票，这些股票的收益\( R = (R_t)_{t \in [0, T]} \)遵循以下随机微分方程： \[ R_t = \int_0^t \mu_s ds + \int_0^t \sigma_s dW_s, \] 其中\( W = (W_t)_{t \in [0, T]} \)是n维的标准布朗运动，而随机漂移过程\( \mu = (\mu_t)_{t \in [0, T]} \)可能独立于驱动布朗运动。投资者的目标是在一个有限的时间期限\( T \)内最大化其终端财富的预期效用。 众所周知，最优终端财富的分布往往呈现出较高的偏斜度，即终端财富低于某个预定基准的概率很高。这对于养老金经理等来说是不可接受的。另一方面，对投资组合价值设置严格的基准限制会导致其预期效用大幅下降。因此，允许一定程度的短差并仅对某些短差风险度量施加限制似乎是合理的。 一种非常流行的风险量化方法是“风险价值”（Value at Risk, VaR），它衡量的是财富低于预定水平的概率。然而，VaR有一些局限性，例如它不是次可加的，这意味着分散化不一定降低总风险。为了克服这些局限性，研究者们转向使用更先进的风险度量，比如熵风险。 #### 2. 熵风险概述 熵风险是一种基于信息理论的风险度量方法，它衡量的是财富分布与某个目标分布之间的差异。具体来说，熵风险可以定义为： \[ \rho(X) = \sup_{Q \in \mathcal{Q}} \left\{ E_Q[-\log(\frac{dP}{dQ})] - \alpha \right\}, \] 其中\( X \)代表财富，\( P \)是原始概率测度，\( Q \)是从\( P \)出发的相对熵小于或等于\( \alpha \)的所有概率测度构成的集合。 #### 3. 熵风险约束下的效用最大化 在考虑熵风险的情况下，投资者的问题可以表述为： \[ \max_{\pi} E[U(X_T)] \] \[ \text{s.t.} \quad \rho(X_T - b) \leq \gamma, \] 其中\( \pi \)表示交易策略，\( U \)是效用函数，\( X_T \)是终端财富，\( b \)是基准财富，\( \gamma \)是风险容忍度。这个问题的关键在于找到最优交易策略\( \pi \)，使得在满足风险约束的同时，终端财富的预期效用最大化。 为了求解上述优化问题，研究者利用了Malliavin微积分的方法。具体而言，他们首先构建了一个适于Malliavin微分的框架，然后利用该框架下的链式法则和伊藤公式来求解最优交易策略。 #### 4. 数值实验 针对幂效用函数以及漂移项为有限状态马尔科夫过程的情况进行了数值实验。实验结果表明，在熵风险约束下，相比于无约束情况，虽然预期效用有所降低，但能够有效地控制短差风险，从而达到一个较为平衡的状态。 #### 结论 熵风险作为一种更高级的风险度量工具，为解决效用最大化问题提供了一种新的视角。通过对投资组合的优化，可以在保持一定风险水平的同时实现效用的最大化。未来的研究可以进一步探索不同效用函数和风险度量之间的关系，以及如何更好地利用现代数学工具解决实际金融问题。