### 有杆泵井下示功图的有限差分计算新方法
#### 摘要与背景
本文探讨了一种新型的有限差分方法来计算有杆泵井下的示功图，这是一种重要的技术进步，旨在更准确地评估和诊断有杆泵的工作状态。传统的方法在计算井下各种力和位移时存在一定的局限性，如Snyder提出的基于特性法的无阻尼波动方程解法，以及Gibbs和Neely提出的基于一维阻尼波动方程的傅里叶级数近似法。这些方法或忽略了阻尼效应，或受限于傅里叶级数解的精确度问题。相比之下，本文介绍的新方法克服了这些问题，并提供了一种更为精确的解决方案。
#### 方法介绍
##### 波动方程的应用
对于有杆泵抽油系统的动态特性分析，使用波动方程来描述抽油杆的轴向振动是非常合适的。波动方程可以分为两种形式：
1. **简单形式**：适用于直径不变的抽油杆柱，形式为：
\[
\frac{\partial^2 x}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 x}{\partial z^2} = - c \frac{\partial x}{\partial t}
\]
其中 \(a = \sqrt{\frac{Eg}{\rho}}\)，\(E\) 为弹性模量，\(g\) 为重力加速度，\(\rho\) 为材料密度。
2. **通用形式**：适用于多级抽油杆柱的情况，形式为：
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{EA}{144g} \frac{\partial x}{\partial t}\right] - \frac{144g}{EA} \frac{\partial}{\partial z}\left[\frac{EA}{144g} \frac{\partial x}{\partial z}\right] = - c \frac{\partial x}{\partial t}
\]
其中 \(EA\) 为抽油杆的抗拉刚度，\(z\) 为位置坐标。
##### 有限差分模型的构建
为了求解上述波动方程，采用有限差分法将连续问题离散化。通过引入离散的时间步长 \(At\) 和空间步长 \(Ax\)，可以得到位移 \(x\) 的时间与空间导数的有限差分表达式。具体而言，对于通用形式的波动方程，有限差分模拟方程可以表示为：
\[
u_{i+1}^{j+1} = \left\{\left[a(1+cAt)u_{i+1}^{j} - (q(2+cAt) - \frac{EA}{Ax} - \frac{EA}{Ax})u_i^j + a u_{i-1}^j - \frac{EA}{Ax}u_{i-1}^j\right]\right\}/\left(\frac{EA}{Ax}\right)
\]
这里 \(u_i^j\) 表示在第 \(j\) 时刻、第 \(i\) 位置的位移值。通过迭代此方程，可以从地面位移逐步计算出井下每个节点的位移，直至泵上方的最后一个节点。
#### 边界条件与初始条件
求解波动方程需要满足特定的边界条件和初始条件。在本文的分析中，主要关注周期性的解，因此不需要特定的初始条件。边界条件则可以通过地面示功图直接获得，具体为光杆载荷和位移随时间变化的曲线。如果地面示功图为连续曲线而非按均匀时间间隔记录的数据，则需要通过抽油机的动力学分析来获得均匀时间间隔下的地面位移数据。
#### 结论
本文介绍的新方法通过对波动方程的有限差分求解，提供了一种计算有杆泵井下示功图的有效途径。相比于传统的分析方法，这种方法不仅能够更精确地反映实际的物理过程，还能够在一定程度上减少计算复杂度，为有杆泵抽油系统的优化设计和故障诊断提供了有力的技术支持。
