根据题目要求，我们将从计算机体系结构量化方法作业的几个关键问题出发进行详细的解析与扩展。
### 计算机体系结构量化方法作业1
#### Q1.2a：计算旧Power5芯片的成本
在这个部分，我们需要根据给定公式计算在特定晶圆直径下，单个芯片的生产成本。
1. **计算每片晶圆可以生产的芯片数量**：
\[
Dies\_per\_wafer = (\pi r^2 / Die\_Area) - (\pi D / (2 * Die\_Area))
\]
其中 \(r\) 是晶圆半径（30/2 = 15mm），\(D\) 是晶圆直径（30mm），而 \(Die\_Area\) 是芯片面积（3.89 mm²）。
\[
Dies\_per\_wafer = (\pi (15)^2 / 3.89) - (\pi 30 / (2 * 3.89)) = 147.9
\]
2. **计算芯片良率**：
\[
Die\_yield = Wafers\_yield \times (1 + (Defects\_per\_unit\_area \times Die\_Area) / \alpha)^{-\alpha}
\]
这里 \(Wafers\_yield = 1\)，\(Defects\_per\_unit\_area = 0.3\)，\(\alpha = 4\)。
\[
Die\_yield = 1 \times (1 + (0.3 \times 3.89) / 4)^{-4} = 0.36
\]
3. **计算单个芯片的成本**：
\[
Cost\_per\_die = Cost\_of\_wafer / (Dies\_per\_wafer \times Die\_yield)
\]
假设晶圆成本为500美元，则：
\[
Cost\_per\_die = 500 / (147.9 \times 0.36) = 9.39
\]
所以，旧的Power5芯片的成本为9.39美元。
#### b：计算新Power5芯片的成本
该部分采用类似的方法来计算新版本芯片的成本。
1. **计算每片晶圆可以生产的芯片数量**：
\[
Dies\_per\_wafer = (\pi r^2 / Die\_Area) - (\pi D / (2 * Die\_Area))
\]
其中 \(r\) 和 \(D\) 不变，但 \(Die\_Area\) 改为1.86 mm²。
\[
Dies\_per\_wafer = (\pi (15)^2 / 1.86) - (\pi 30 / (2 * 1.86)) = 331
\]
2. **计算芯片良率**：
\[
Die\_yield = Wafers\_yield \times (1 + (Defects\_per\_unit\_area \times Die\_Area) / \alpha)^{-\alpha}
\]
此时 \(Defects\_per\_unit\_area = 0.7\)，其余参数不变。
\[
Die\_yield = 1 \times (1 + (0.7 \times 1.86) / 4)^{-4} = 0.32
\]
3. **计算单个芯片的成本**：
\[
Cost\_per\_die = Cost\_of\_wafer / (Dies\_per\_wafer \times Die\_yield)
\]
同样假设晶圆成本为500美元，则：
\[
Cost\_per\_die = 500 / (331 \times 0.32) = 4.72
\]
因此，新的Power5芯片的成本为4.72美元。
#### c：计算旧Power5芯片的利润
接下来计算旧Power5芯片的利润，假设利润率为40%。
\[
Profit = Cost \times 40\% = 9.39 \times 0.4 = 3.756
\]
所以，旧芯片的利润为3.756美元。
#### d：计算新Power5芯片的利润
基于旧芯片的定价策略，新芯片的定价为旧芯片售价的两倍，由此计算新芯片的利润。
\[
Old\_chip\_price = 3.756 + 9.39 = 13.146
\]
\[
New\_chip\_price = 2 \times Old\_chip\_price = 2 \times 13.146 = 26.292
\]
\[
New\_chip\_profit = New\_chip\_price - New\_chip\_cost = 26.292 - 4.72 = 21.572
\]
因此，新芯片的利润为21.572美元。
#### e：计算新工厂的回收期
计算新工厂投资的回收期。
假设每月销售的新Power5芯片为1,500,000个，每个芯片的利润为21.572美元。
\[
Monthly\_profit = 1,500,000 \times 21.572 = 32,358,000
\]
若新工厂的投资成本为1,000,000,000美元，则：
\[
Recovery\_period = 1,000,000,000 / Monthly\_profit = 1,000,000,000 / 32,358,000 = 30.9
\]
这意味着新工厂投资的回收期约为30.9个月。
### Q1.7a：双核处理器的性能与功耗分析
这一部分主要探讨了双核处理器相对于单核处理器的性能提升以及功耗变化。
1. **性能分析**：
对于一个程序来说，如果可以在双核处理器上实现完全并行化，那么理论上所需的CPU周期将减少到一半。即在相同时间内，双核处理器可以完成单核处理器两倍的工作量。因此，为了达到同样的性能水平，双核处理器的频率可以降低到50%。
2. **功耗分析**：
\[
Power_{single\_core} = \frac{1}{2}C V^2 F
\]
\[
Power_{dual\_core} = \frac{1}{2}C (\frac{V}{2})^2 (\frac{F}{2})
\]
其中，\(C\) 表示电容，\(V\) 表示电压，\(F\) 表示频率。根据公式可得：
\[
\frac{Power_{single\_core}}{Power_{dual\_core}} = 8
\]
因此，双核处理器的功耗仅为单核处理器功耗的1/8。
3. **电压与频率的关系**：
当频率降低时，可以通过线性方式降低电压。若执行时间减少至原来的0.7，则：
\[
\frac{ExecuteTime_{new}}{ExecuteTime_{old}} = 0.7 = ((1 - p) + \frac{p}{2})
\]
解方程得 \(p = 0.6\)，意味着程序的并行化比例为60%。
4. **功耗变化**：
\[
Power_{old} = \frac{1}{2}C V^2 F
\]
\[
Power_{new} = \frac{1}{2}C (0.7V)^2 (\frac{F}{2})
\]
\[
\frac{Power_{new}}{Power_{old}} = 0.245
\]
### Q1.10：单处理器平均无故障时间(MTTF)
本题探讨了单个处理器的平均无故障时间(Mean Time To Failure, MTTF)，进而推算出1000个处理器的MTTF。
1. **单处理器MTTF**：
给定单个处理器的MTTF为10,000,000小时。
2. **故障率**：
\[
Failure\_Rate = 1000 \times \frac{1}{10,000,000} = \frac{1}{10,000}
\]
3. **1000个处理器的MTTF**：
\[
MTTF_{1000\_processors} = 10,000
\]
通过以上分析，我们不仅深入了解了芯片制造中的成本、利润计算方法，还探讨了多核处理器对性能和功耗的影响以及系统可靠性的评估方法。这些量化方法是理解计算机体系结构中硬件设计的关键要素之一。
