这篇文档是2015年高等数学竞赛的第一份试卷，主要涵盖了高等数学的多个核心知识点。试卷分为填空题、证明题和应用题，考察了考生对于极限、微积分、微分方程、几何与解析几何以及函数性质的理解与应用。
1. **极限**：题目中的填空题1至6都涉及到了极限问题。例如，第一题要求求解当x趋向于1时，\( \lim_{x \to 1} \frac{\sin(\pi x)}{(1-\cos x)\ln(x)} \)的值。这类问题通常需要利用洛必达法则或者等价无穷小替换来解决。
2. **微积分**：填空题4和5涉及到不定积分的计算。第四题要求计算\( \int_{\infty}^{\frac{1}{2}} \frac{2arctan(1/x)}{x^2+1} dx \)，而第五题则涉及到了线性非齐次微分方程的特解。这些问题需要考生掌握基本的积分技巧和微分方程的解法。
3. **微分方程**：填空题5要求找出给定特解对应的微分方程。这需要理解非齐次线性微分方程的一般形式，并能根据特解构造原方程。
4. **数列极限**：第二题是一道关于数列极限的证明题。题目要求证明数列\( \{x_n\} \)的极限存在并求出其值。这需要运用到极限的定义和性质，以及夹逼准则等工具。
5. **中值定理**：第三题要求证明存在某一点ξ，满足特定的二阶导数关系。这是基于罗尔定理或拉格朗日中值定理的应用，需要考生熟悉这些定理的条件和应用。
6. **曲面与体积**：第四题涉及到几何问题，要求找到常数a, b, c使得曲线绕x轴旋转形成的体积最小，并求绕y轴旋转的体积。这需要用到积分计算体积和极值问题，可能需要利用拉格朗日乘数法。
7. **不等式证明**：第五题是关于函数积分的不等式证明，要求证明\( \int_b^a f(x)dx \leq \int_a^b f(x)dx \)。这涉及到积分的性质和比较积分法。
8. **周期函数与切线**：第六题考察周期函数的性质和切线方程。给定函数f(x)满足特定条件，要求求出在点(6, f(6))处的切线方程。这需要使用导数的几何意义。
9. **高阶导数与中值定理**：第七题是关于函数的三阶导数，证明存在特定的ξ使得三阶导数满足特定条件。这需要运用泰勒公式和中值定理的推广形式。
这份试卷全面测试了考生对高等数学基础理论的理解和应用能力，包括极限、微积分、微分方程、数列极限、几何与解析几何以及函数性质等多个方面。解决这些问题需要扎实的数学功底和灵活的解题策略。
