### 高分辨率守恒律方程的数值方法
#### 引言
本文是Ami Harten于1983年发表的重要论文《高分辨率守恒律方程的数值方法》,该论文开启了差分格式的新纪元。文章讨论了如何通过非振荡一阶精确的差分格式对双曲型守恒律方程进行数值求解,进而得到高分辨率的二阶精确格式。
双曲型守恒律方程是描述流体动力学、气体动力学等物理现象的基础模型之一。其基本形式为:
\[ u_t + f(u)_x = 0 \]
其中 \( u(x,t) \) 是包含 \( m \) 个未知量的向量,而 \( f(u) \) 是一个由 \( m \) 个分量组成的矢量函数,表示通量。如果雅可比矩阵 \( A(u) = f_u \) 的所有特征值都是实数,并且存在完备的右特征向量集,则称方程(1.1)为双曲型。
#### 主要内容概述
Harten 提出了一种新的显式二阶准确的有限差分格式,该格式通过对适当的修改后的通量函数应用非振荡一阶准确的差分格式来实现。这种高度非线性的格式在保持原有一阶非振荡格式鲁棒性的同时,能够达到较高的分辨率。
具体来说,格式的形式为:
\[ v^{n+1}_j = v^n_j - \Delta t (f^n_{j+1/2} - f^n_{j-1/2}) \]
其中 \( f^n_{j+1/2} \) 和 \( f^n_{j-1/2} \) 分别是基于当前时间步 \( n \) 上的状态 \( v^n_{j-k+1},\ldots,v^n_{j+k} \) 计算得到的数值通量。数值通量函数 \( f \) 需要与实际通量 \( f(u) \) 保持一致,即满足一致性条件:
\[ f(u,\ldots,u) = f(u) \]
此外,为了确保数值格式符合熵条件,即弱解必须满足:
\[ U_t + F_x < 0 \]
其中 \( F \) 是熵通量,格式还需满足相应的熵一致性条件。
### 数值格式设计原理
Harten 所提出的格式的核心思想在于利用非振荡的一阶格式,并通过修改通量函数来提高精度至二阶。这种方法的关键在于如何选择合适的通量函数修改策略,使得格式既保持非振荡性,又能够提高精度。
#### 非振荡一阶格式
非振荡一阶格式通常采用如Godunov方法或Monotone Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws (MUSCL)方法,这些方法能够在计算激波和其他间断时避免振荡现象,从而保证数值解的质量。
#### 二阶改进策略
为了将一阶格式提升到二阶精度,Harten 采用了类似于WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory)方法的思想,即通过适当的权值组合多个一阶格式,并在关键区域应用更高的精度以减少截断误差。
### 实验结果分析
文中给出了大量数值实验结果,验证了所提出的新格式的有效性和优越性。实验结果表明,即使在处理复杂的间断和波动时,新格式也能保持良好的非振荡性和高分辨率,同时在计算效率上也表现出色。
### 结论
Harten 的这篇论文开创性地提出了高分辨率守恒律方程的数值方法,不仅在理论层面为后续的研究奠定了坚实的基础,也在实际应用中取得了显著的效果。通过将非振荡性和高精度结合,这一方法极大地推动了数值分析领域的发展,特别是在解决复杂流体力学问题方面展现出了巨大潜力。
