AOE 图中关键路径的 MATLAB 实现
AOE 图（Activity on Edge）是一种常用的网络图形式，用于描述复杂的工程项目中各个活动之间的关系。AOE 图中关键路径的计算是项目管理中一个非常重要的问题。 MATLAB 是一个功能强大且广泛应用的编程语言，常用于科学计算、数据分析和可视化等领域。
在 AOE 图中，关键路径是指从起点到终点的最长路径，该路径上的活动是整个项目的关键部分，影响着项目的整体进度。计算关键路径需要使用特殊的算法，例如 critical path method（CPM）。CPM 是一种常用的方法，用于计算 AOE 图中的关键路径。
在给定的 MATLAB 代码中，使用了 CPM 算法来计算 AOE 图中的关键路径。该代码定义了一个函数 cpm，接受三个参数：snode、enode 和 povertime。snode 和 enode 分别是活动的起点和终点，povertime 是活动所需的时间。函数 cpm 使用 spare 矩阵来存储 AOE 图的信息，然后使用动态规划算法来计算关键路径。
在计算关键路径时，需要计算每个节点的最早开始时间（earliest start time）和最晚完成时间（latest finish time）。earliest start time 是指活动可以开始的最早时间，而 latest finish time 是指活动必须完成的最晚时间。通过比较 earliest start time 和 latest finish time，可以确定哪些活动是关键路径的一部分。
在输出结果中，earliestST 变量记录了每个节点的最早开始时间，route 变量记录了关键路径上的节点，freetime 变量记录了每个节点的自由活动时间，worktime 变量记录了整个项目的工作时间。结果显示，关键路径为 1→2→4→5→6→7→8→9→11→12，各个节点的最早开始时间分别为 0、5、8、7、13、29、37、24、47、47、47、62，各个节点的自由活动时间分别为 0、0、9、0、0、0、0、0、0、3、0、0，工作总时间为 62。
该 MATLAB 代码成功实现了 AOE 图中关键路径的计算，并且提供了一个实用的解决方案 для项目管理和网络优化问题。
