课程设计_多项式插值的振荡现象matlab.doc

这篇文档是关于数值分析课程设计的一项任务，主题聚焦于多项式插值的振荡现象，特别是在MATLAB环境中进行模拟和分析。插值是数学中的一种技术，它试图找到一个低阶多项式，这个多项式恰好经过一系列给定点，从而近似地代表一个更复杂的函数。在多项式插值中，Lagrange插值是一种常用的方法，它通过构造一组基函数来构建插值多项式。 文档中提到的问题是，随着插值节点数量的增加，Lagrange插值多项式的次数也会提高，人们自然会关心这种情况下插值多项式是否能更精确地逼近原函数。然而，Runge的现象指出，当使用等距划分的节点时，随着节点数增加，插值多项式在某些点的误差可能会显著增大，尤其是在区间的端点附近。这种现象在文档中的实验部分得到了验证，通过对比不同节点数的Lagrange插值多项式，发现最大误差确实会在端点附近达到最大，并且随着节点数的增加，这一现象更加明显。 在实验内容中，设计者选择了三个不同的函数在[-p,p]区间上进行等距划分和切比雪夫点划分的插值。切比雪夫点是一种优化的节点选择方式，通常能提供更稳定的插值效果。结果显示，相比于等距划分，切比雪夫点在大多数情况下可以减小最大误差，但仍然无法完全避免Runge现象的发生，即当节点数增加到一定程度，两端的误差也会增大。 总结实验结果，作者建议在使用Lagrange插值时，等距划分的节点数不应过大，一般选择8左右可以得到较好的效果。而采用切比雪夫点，节点数通常在12到20之间能控制误差在较小范围。尽管如此，无论是哪种节点划分方式，都无法从根本上消除Runge现象，因此选择合适的节点分布和控制节点数量是减小误差的关键。 通过这次课程设计，作者不仅学习了MATLAB软件的基本使用，还了解了如何通过编程解决数学问题。在遇到困难时，如函数fminbnd的使用问题，作者通过在线查询找到了解决方案。然而，由于时间和对MATLAB的不熟悉，程序还有待进一步优化，如减少循环次数和寻找更高效的函数替代。 这份文档详细探讨了在MATLAB中如何模拟和理解多项式插值的振荡现象，以及如何通过选择不同的节点分布策略来控制插值误差。此外，它也强调了学习新工具如MATLAB的重要性，以及解决问题时的耐心和细心。