DFT原理介绍，通过3个实例进行了分析
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2023-05-14
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1.DFT 原理
DFT 的主要作用就是将给定波形中各次谐波的频率、幅值和相位的信息提取出来。上图
左侧 x1，x2 和 x3 就是给定的波形，右侧是通过 DFT 的计算提取到的相关信息。
1.1.DFT 的计算公式
𝑋
𝑐𝑜𝑠
(
𝑘
)
=
𝑁
―
1
𝑛
=
0
𝑥
(
𝑛
)
∗
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
×
𝑘
∙
𝑛
𝑁
𝑋
𝑠𝑖𝑛
(
𝑘
)
=
𝑁
―
1
𝑛
=
0
𝑥
(
𝑛
)
∗
𝑠𝑖𝑛
2𝜋
×
𝑘
∙
𝑛
𝑁
X
(
𝑘
)
=
𝑋
𝑐𝑜𝑠
(
𝑘
)
+
𝑗
∙
𝑋
𝑠𝑖𝑛
(
𝑘
)
=
𝑁
―
1
𝑛
=
0
𝑥
(
𝑛
)
∙
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
×
𝑘
∙
𝑛
𝑁
+
𝑗
∙
𝑁
―
1
𝑛
=
0
𝑥
(
𝑛
)
∙
𝑠𝑖𝑛
2𝜋
×
𝑘
∙
𝑛
𝑁
=
𝑁
―
1
𝑛
=
0
𝑥
(
𝑛
)
∙
𝑊
𝑘
∙
𝑛
𝑁
N：采样的数据点数
k：提取谐波的次数
1.2.欧拉公式
𝑊
𝑘
∙
𝑛
𝑁
=
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
×
𝑘
∙
𝑛
𝑁
―
𝑗
∙
𝑠𝑖𝑛
2𝜋
×
𝑘
∙
𝑛
𝑁
DFT 核心的思想就是不同频次相乘的结果为 0，这样就可以提取出相应频次的幅值信息。
𝑋
𝑐𝑜𝑠
(
𝑘
)
提取的给定波形中频率和幅值的信息，
𝑋
𝑠𝑖𝑛
(
𝑘
)
提取的给定波形中特定频次的相位信
息，两者最后组合出的才是最终需要的数据。
2.提取 x1 中谐波信息
𝑥
1
(
𝑡
)
=
𝑐𝑜𝑠
(
2𝜋
∙
2𝑡
)
上述波形为 2 次谐波，幅值为 1，相位 0
2.1.离散化处理
DSP 的 ADC 采样为离散的数据，按照一个周期采集 200 个点进行离散化，N=100，提
取 51 次以内的谐波，k=51。
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