清华大学数值分析课件第一章

数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为计算数学的主体部分。 数值分析是计算机科学和数学领域的一个重要分支，主要研究如何使用计算机解决数学计算问题，并对这些数值计算方法的理论进行深入探讨。清华大学的数值分析课件第一章主要介绍了数值计算的基本概念，包括数值分析的研究对象、特点，以及数值计算中的误差分析。 数值分析的核心在于设计和分析针对特定数学问题的数值计算方法。这些方法通常是为了解决那些无法通过解析手段求解或解析解过于复杂的问题。在计算机上实现这些方法时，由于计算机的数字表示有限（例如浮点数的精度限制），以及算法中的近似步骤，计算过程中会引入两种主要类型的误差：截断误差和舍入误差。截断误差源于将复杂的数学模型简化为可处理的形式，而舍入误差则由计算机存储和计算时的有限精度引起。 在描述误差时，我们通常关注绝对误差和相对误差。绝对误差是近似值与精确值之间的差异，而相对误差则是这个差异与精确值的比例，这在处理大或小的数值时特别有用。有效数字的概念在表达近似值的精度时也至关重要，它指的是从第一个非零数字到末尾的所有数字，加上可能存在的前导零。有效数字的数量可以直观地表示数值的精度，因为它给出了数值中可以确定的位数。 在数值运算的误差估计中，有几种常见的方法来量化误差的影响。例如，误差可以通过差分来近似，即通过比较函数在不同点的值来估计导数，或者通过泰勒展开来估算误差。此外，矩阵运算中的误差分析通常涉及矩阵的条件数，它反映了计算的稳定性，即输入的小变化可能导致输出的大变化。 课件中还提到了数值计算方法应具备的几个关键特点：稳定性、收敛性和计算复杂性。稳定性是指算法在面临微小扰动时仍能保持准确的结果；收敛性是指随着迭代次数增加，解向正确答案靠近；而计算复杂性则是指算法执行所需的时间和空间资源，这是优化算法性能的重要考虑因素。 数值分析是理解和解决实际问题中数值计算的关键工具，它涉及到误差分析、算法设计、稳定性和效率等多个方面。在实际应用中，理解这些基本概念对于提高计算的准确性和效率至关重要。