Elements of the Theory of Computation (2ed)计算理论CH3 答案

计算理论是计算机科学的重要分支，它研究问题的计算可行性、计算复杂度以及计算模型。《Elements of the Theory of Computation (2ed)》是一本计算机理论领域的经典教科书，其第三章涵盖了上下文无关文法（Context-Free Grammars，CFG）、下推自动机（Pushdown Automata，PDA）以及它们与语言类别的关系。根据给定文件中的部分内容，我们可以提炼出以下知识点。 上下文无关文法是形式语言理论中的一个核心概念，它对字符串的形式化描述能力超出正则文法。上下文无关文法可以用一组产生式规则来定义，这些规则指明了如何通过替换规则生成字符串。在文件中，问题3.1.3要求构造一个上下文无关文法，生成所有正向符号序列等于其逆向符号序列的语言，即 palindromes（回文）。解决方案展示了这样的CFG是如何形成的，包含了一个初始变量（起始符号）S和一组产生规则，例如 S→aSa、S→bSb、S→a 等，能生成字符串如 abbaba，这些字符串前后读起来是相同的。 问题3.1.9要求通过展示CFG来证明给定的语言是上下文无关的。例如，对于语言 {ambn:m≥n}，可以构造一个CFG G=(V,Σ,R,S)，V是变量集，Σ是终结符集，R是产生规则集，S是起始符号。该CFG包含产生式规则，如 S→aSbS 和 S→e，其中 e 表示空字符串。通过这样的规则，可以从起始符号 S 出发，构造出形如 anbn 的字符串。 下推自动机是能够处理具有栈特性的问题的计算模型。问题3.3.2要求构造能够接受特定语言的下推自动机。例如，对于语言 {w∈{a,b}∗:w=wR}，即所有字符串等于其逆序的语言，给出了一个下推自动机 M=(K,Σ,Γ,∆,s,F) 的定义。这里 K 是状态集，Σ 是输入符号集，Γ 是栈符号集，∆ 是转移函数，s 是起始状态，F 是接受状态集。下推自动机的转移函数包含对栈进行操作的指令，如将符号压入栈顶或弹出栈顶符号。 问题3.4.1演示了如何利用引理3.4.1对给定的文法进行自动机的构造，以及如何追踪自动机在特定输入字符串上的操作。这个过程涉及到通过一系列的转换规则，把输入字符串转化为自动机接受的状态。 问题3.5.1使用闭包性质（例如并集闭包）来证明一些语言是上下文无关的。闭包性质是指某些运算（如并、连接、克林闭包等）作用于特定的语言类上，产生的结果仍然属于该类。例如，问题(b)涉及到的语言 {a,b}∗−{anbn:n≥0} 可以用闭包性质来说明它是上下文无关的。该语言可以表达为 {a,b}∗ 与 {anbn:n≥0} 的补集，而 {anbn:n≥0} 是上下文无关的，所以 {a,b}∗−{anbn:n≥0} 也是上下文无关的。 文件中出现的标签 "Harry R. Lew Christos H." 可能是指这本书的原作者，其中 "Harry R. Lewis" 和 "Christos H. Papadimitriou" 是计算机科学领域著名的学者，他们合著的《Elements of the Theory of Computation》被广泛作为教材使用。