### 牛顿-柯特斯数值积分公式及其MATLAB实现
#### 一、数值积分基本公式
数值积分是一种近似计算定积分的技术，特别是在解析解难以获得或不存在的情况下尤为重要。数值积分的基本公式通常表示为：
\[
\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^{n} A_k f(x_k)
\]
其中 \( x_k \) 是求积节点，\( A_k \) 是与被积函数 \( f(x) \) 无关的求积系数。为了确保数值积分的稳定性，一般要求所有的 \( A_k \) 都为正值。
#### 二、插值型数值积分公式
插值型数值积分公式首先通过对给定的 \( n+1 \) 个节点上的函数值构造一个拉格朗日插值多项式 \( L_n(x) \)，然后计算这个多项式在区间 \([a, b]\) 上的积分。具体地，该公式可表示为：
\[
\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \int_{a}^{b} L_n(x) dx = \sum_{k=0}^{n} A_k f(x_k)
\]
其中 \( A_k \) 可以通过以下公式计算得到：
\[
A_k = \int_{a}^{b} l_k(x) dx
\]
其中 \( l_k(x) \) 是拉格朗日基函数。
#### 三、牛顿-柯特斯数值积分公式
牛顿-柯特斯数值积分公式是一种特殊的插值型数值积分公式，它假设求积节点在区间 \([a, b]\) 上等间距分布。牛顿-柯特斯公式的求积系数可以通过以下公式计算得到：
\[
A_k = \frac{b - a}{n} C(k, n)
\]
其中 \( C(k, n) \) 被称为柯特斯系数，可以通过下述积分定义给出：
\[
C(k, n) = \int_{0}^{1} \left(\prod_{j=0, j \neq k}^{n} \frac{t - j/n}{k - j}\right) dt
\]
根据不同的 \( n \) 值，牛顿-柯特斯公式可以特化为以下几种常见的形式：
1. **梯形公式**：当 \( n = 1 \) 时，牛顿-柯特斯公式简化为梯形公式，该公式的一次代数精度为 \( 1 \)。
\[
\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b - a}{2} [f(a) + f(b)]
\]
2. **辛普森公式**：当 \( n = 2 \) 时，牛顿-柯特斯公式简化为辛普森公式，该公式的三次代数精度为 \( 3 \)。
\[
\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b - a}{6} [f(a) + 4f(h) + f(b)]
\]
3. **科特斯公式**：当 \( n = 4 \) 时，牛顿-柯特斯公式简化为科特斯公式，该公式的五次代数精度为 \( 5 \)。
\[
\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b - a}{90} [7f(a) + 32f(h) + 12f(2h) + 32f(3h) + 7f(b)]
\]
值得注意的是，当 \( n \geq 8 \) 时，柯特斯系数可能包含负值，这导致数值积分的稳定性问题。这是因为牛顿-柯特斯公式本质上是基于拉格朗日多项式插值的，而高阶的多项式插值可能会引起鲁棒性问题。
#### 四、复化求解公式
为了解决牛顿-柯特斯公式在高阶时可能出现的不稳定性问题，可以采用分段积分的方法，即将原区间 \([a, b]\) 分割成多个较小的子区间，并在每个子区间上应用低阶的牛顿-柯特斯公式。这种方法被称为复化牛顿-柯特斯公式。常见的复化公式包括：
1. **复化梯形公式**：将 \([a, b]\) 等分成 \( n \) 份，子区间长度为 \( h = (b - a) / n \)。
\[
\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b - a}{2n} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(a + ih) + f(b)]
\]
2. **复化辛普森公式**：同样地，将 \([a, b]\) 等分成 \( n \) 份，子区间长度为 \( h = (b - a) / n \)。
\[
\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b - a}{3n} [f(a) + 4\sum_{i=1, i \text{ odd}}^{n-1} f(a + ih) + 2\sum_{i=2, i \text{ even}}^{n-2} f(a + ih) + f(b)]
\]
这些复化公式有效地提高了数值积分的准确性和稳定性，尤其是在处理较大范围的积分时。
### MATLAB实现
在MATLAB中实现牛顿-柯特斯数值积分公式，首先需要定义相关的函数来计算求积系数和节点，然后根据具体的公式进行数值积分。下面是一个简单的MATLAB示例代码框架，用于实现牛顿-柯特斯数值积分：
```matlab
function I = newton_cotes(f, a, b, n)
% f: 被积函数
% a, b: 积分上下限
% n: 求积节点数
h = (b - a) / n; % 子区间长度
x = linspace(a, b, n+1); % 求积节点
% 计算求积系数
if n == 1
A = [1/2, 1/2];
elseif n == 2
A = [1/6, 2/3, 1/6];
elseif n == 4
A = [7/90, 32/90, 12/90, 32/90, 7/90];
else
error('n must be 1, 2, or 4');
end
% 进行数值积分
I = 0;
for i = 1:n+1
I = I + A(i) * f(x(i));
end
I = h * I;
end
```
此代码实现了牛顿-柯特斯数值积分的梯形公式、辛普森公式以及科特斯公式，并且可以根据实际需求进行扩展。通过这样的实现方式，用户可以方便地计算不同函数在指定区间内的近似积分值。
zyb5222019-12-02谢谢，用上了
