最小二乘 函数拟合 多项式 指数函数 MATLAB 数值计算方法作业

在数值计算领域，最小二乘法是一种常用的曲线拟合技术，用于寻找一组数据点的最佳拟合曲线。在本示例中，我们关注的是如何利用MATLAB进行多项式和指数函数的最小二乘拟合。MATLAB是一种强大的数学计算软件，它提供了丰富的内置函数和工具箱，使得这类问题的求解变得相对简单。 我们要理解“最小二乘法”的基本概念。最小二乘法的目标是找到一个函数，使得该函数通过所有数据点的残差平方和最小。在这个过程中，我们通常需要定义一个误差函数（或称目标函数），通常是残差平方和的函数，然后通过优化算法（如梯度下降或牛顿法）找到误差函数的极小值点，这对应于最佳拟合曲线的参数。 在多项式拟合中，我们选择多项式函数作为基函数，例如 \(f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n\)，其中 \(a_i\) 是待求的系数。通过最小化数据点与多项式函数预测值之间的残差平方和，我们可以得到这些系数的最优值。 指数函数拟合则是使用类似于 \(f(x) = a \cdot b^x\) 的形式，其中 \(a\) 和 \(b\) 是需要求解的参数。同样的，我们通过最小二乘法确定这些参数，使得函数尽可能地贴近实际数据。 在MATLAB中，可以编写函数文件来实现这个过程。函数文件应该包含输入参数（如观测数据）和输出参数（如拟合后的函数参数）。通过调用MATLAB的内置优化函数，如`lsqcurvefit`，可以直接对用户定义的非线性函数进行最小二乘拟合。同时，MATLAB也提供`polyfit`函数，对于多项式拟合特别方便，它可以自动计算出最佳的多项式系数。 在西工大的数值计算方法作业中，可能要求学生手动实现这个过程，以加深对最小二乘法和非线性优化的理解。学生需要理解每一步的数学原理，并能够将这些原理转化为可执行的代码。提供的解答可以作为参考，帮助理解算法的正确实现。 在压缩包中的"最小二乘函数拟合"文件，可能包含了MATLAB脚本文件和数据文件。脚本文件中应当详细展示了如何定义误差函数、设置初始参数、调用优化函数以及画出拟合曲线。数据文件则提供了实际的观测数据，用于测试和验证拟合效果。 这个作业旨在让学生掌握利用MATLAB进行函数拟合的基本技巧，包括多项式和指数函数的最小二乘拟合，同时锻炼他们的编程能力和数学应用能力。通过实践，学生能更好地理解和运用数值计算方法，为后续更复杂的科学计算打下坚实的基础。