信息学竞赛中的数学模型
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2008-09-06
16:43:30
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数学模型及其在信息学竞赛中的应用
上海市复旦附中高三（8）班 郭一
【关键字】
数学模型，可靠性，可解性
【引言】
数学模型是人们解决现实问题的有力武器。人们把现实问题经过
科学地抽象、提炼得到数学模型，再用数学方法去解决。数学模型
可分为离散和连续两种。连续数学模型需要大量的高等数学知识，
中学生很少接触。在信息学竞赛经常出现的则是离散数学模型。本
文主要介绍的就是离散数学模型的一般概念及建立方法。
【正文】
所谓数学模型，就是现实世界中某一类特殊的运动变化过程、关系或结构
的一种模拟性的数学结构，其实也就是对现实模型进行科学抽象后得到的模型。
在信息学竞赛中，试题给出的问题通常是一个现实问题，这也就需要选手在审
清题意后首先把问题的关键因素总结、提炼出来，形成一个抽象的数学模型，
这样有利于问题的分析与解决。
一般来说，我们在解一道有关现实问题的试题时，需要分以下几个步骤：
１． 审清题意，了解题目的来龙去脉，弄清哪些量是已知的（输入），
需要求什么（输出），数据规模如何等等。这是解决问题的前提。
２． 建立模型，使之能够简洁高效地表达出题目给出的现实模型。
３． 解决模型，得出算法。建模之后就是要解决模型。这步顺利与否
很大部分上取决于所建模型的可解性如何。
４． 编程实现。
其中，２、３两步是关键。模型建立与解决得好与坏对能否成功解决该题
起着决定性的作用。
（一） 对于同一个现实问题，可能可以建立不同的数学模型
这种现象十分普遍，也就是平时所说的一题多解。既然如此，这里有必要
讨论一下数学模型的选择问题，其实也就是评判一个模型好坏标准的问题。一
个好的数学模型不仅要能够准确地反映出现实模型（可靠性），所建立的模型
还必须能够被有效地解决（可解性）。这里“有效”指的是解决它的算法所需的
空间与时间都在可以承受的范围之内。通常在解一些要求最优解或要求准确计
数的一类具有唯一正确解的试题时，我们一般在保证可靠性的前提下，尽量提
高模型的可解性。若几个模型都具有可靠性，则当然可解性越强的模型越好。
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