微积分方法建模12传染病模型--数学建模案例分析.pdf

"微积分方法建模12传染病模型--数学建模案例分析" 微积分方法在建模传染病模型中的应用是非常广泛的。通过将微积分方法应用于传染病模型，可以对传染病的传播规律进行详细的描述和分析。下面我们将对微积分方法在建模传染病模型中的应用进行详细的介绍。 模型（一）：SI模型 SI模型是最基本的传染病模型，它假设人群分为健康者和病人。在时刻t，这两类人中所占的比例分别为$(t)$和$i(t)$。模型假设平均每个病人每天有效接触人数是常数，即每个病人平均每天使$(t)$个健康者受感染变为病人，称为日接触率。 模型建立与求解：根据假设，在时刻t，每个病人每天可使$(t)$个健康者变成病人，病人数为$i(t)$，故每天共有$(t)$个健康者被感染。即： $$\frac{di}{dt} = \beta si$$ 其中，$\beta$是日接触率，$s$是健康者的人数，$i$是病人的人数。 模型解释： 1. 当$t \to \infty$时，$i(t)$达到最大值，这个时刻为高潮到来时刻，越大，则$m$越小。 2. 当$t \to \infty$时，这即所有的人都被感染，主要是由于没有考虑病人可以治愈，只有健康者变成病人，病人不会再变成健康者的缘故。 模型（二）：SIS模型 SIS模型是在SI模型的基础上补充假设：病人每天被治愈的占病人总数的比例为$\gamma$，称为日治愈率。模型修正为： $$\frac{di}{dt} = \beta si - \gamma i$$ 模型解释： 1. 可知$a$刻画出该地区医疗条件的卫生水平为一个阈值，当$a = 0$时，$i(t)$增减性取决于$s$的大小，但其极限$a = 1$，且$a$愈大，它也愈大。 模型（三）：SIR模型 SIR模型假设人群分为健康者、病人和移出者（病愈免疫者），三类人在时刻t 在总人数$N$中占比例分别为$s(t)$，$i(t)$和$r(t)$。 模型建立与求解：模型假设病人日接触率为$\beta$，日治愈率为$\gamma$，传染期间接触数模型建立与求解： $$\frac{ds}{dt} = -\beta si$$ $$\frac{di}{dt} = \beta si - \gamma i$$ $$\frac{dr}{dt} = \gamma i$$ 模型解释： 1. 无论$s$和$i$如何，$i(t)$终将消失。 2. 最终未被感染的健康者比例$s$是方程$s = 0$的单根。 3. 若$s > 1$，则当$t \to \infty$时，$i(t)$达到最大值$m$，$i(t)$先增后减至$0$。 4. 若$s < 1$，则$t \to \infty$时，$i(t) = 0$。 模型解释： 1.$a$是一个阈值，当$s > 1$时传染病会蔓延，$s < 1$时就不会蔓延。 2. 表明愈小，愈大，也愈小， 微积分方法在建模传染病模型中的应用可以对传染病的传播规律进行详细的描述和分析，为疾病控制和预防提供了科学依据。但是，微积分方法也存在一定的局限性，例如无法考虑到人群的年龄、性别、职业等因素对传染病的影响。因此，在实际应用中，需要结合实际情况选择合适的模型和方法。