Dj算法求最短路问题

### Dj算法求最短路径问题 #### 算法简介 Dijkstra算法是一种用于寻找图中两点间最短路径的经典算法。它适用于无负权边的有向或无向图。该算法通过维护一个距离数组和一个前驱数组来记录当前已知的最短路径信息。其中，距离数组存储了从起点到各个顶点的最短路径长度；前驱数组则记录了到达各个顶点的最短路径上的前一个顶点。 #### 核心概念 1. **S集合**：表示已经找到从源点到该点最短路径的所有顶点集合。初始时，S集合只包含源点。 2. **d数组**：存储从源点到各个顶点的最短路径长度。 3. **p数组**：记录到达各个顶点的最短路径上的前一个顶点。 4. **松弛操作**：更新某个顶点的最短路径估计值的过程。 #### 算法步骤 1. **初始化**： - 设置距离数组d，所有顶点的初始距离为无穷大，除了源点为0。 - 初始化前驱数组p，所有顶点的前驱设为-1。 - 构建一个小顶堆，其中包含了所有顶点及其对应的初步估计距离。 2. **构建小顶堆**： - 使用数组实现小顶堆，并确保每个父节点的值不大于其子节点的值。 - 通过`buildMinHeap`函数将所有顶点按距离排序。 3. **主循环**： - 当S集合未包含所有顶点时，重复以下操作： - 从堆中取出具有最短距离的顶点v，并将其加入S集合。 - 对于顶点v的每一个邻接顶点w执行松弛操作： - 如果从源点到w的距离大于通过v到达w的距离，则更新w的距离，并设置w的前驱为v。 4. **提取最短路径**： - 通过前驱数组p可以追踪并输出从源点到任意目标点的最短路径。 #### 代码解读 根据提供的部分代码示例，我们可以更深入地理解Dijkstra算法的具体实现细节： 1. **定义变量**： - `m` 表示无穷大，在本例中用来表示两个顶点之间没有直接连接的情况。 - `t` 是一个二维数组，表示图的邻接矩阵。 - `d` 存储距离信息。 - `p` 用于记录前驱顶点。 - `s` 代表S集合的状态。 2. **初始化操作**： - 初始化距离数组d和前驱数组p。 - 调用`buildMinHeap`函数创建小顶堆。 3. **核心逻辑**： - `dijkstra` 函数负责主循环过程。 - 在每次迭代中，调用`extract_min`函数从堆中取出距离最小的顶点。 - 遍历当前顶点的所有邻居，并执行松弛操作。 4. **最短路径输出**： - `print` 函数利用栈结构来逆序追踪并输出最短路径。 #### 总结 Dijkstra算法提供了一种有效的方法来解决单源最短路径问题。通过对给定的Java代码分析，我们能够理解如何具体地实现这一算法，并通过构建小顶堆、执行松弛操作等关键步骤来优化计算效率。此外，该算法还可以扩展到处理其他相关问题，例如在带有权重限制的图中寻找最短路径。