Elementary Real Analysis

实分析基础，2001年版本，752页，如果看Rudin的Real and Complex Analysis和Royden的Real Analysis比较有困难，请阅读此书，此书比较基本，适合初学实分析和自学实分析的人群！ ### Elementary Real Analysis #### 一、书籍概述与适用人群 《Elementary Real Analysis》是一本由Brian S. Thomson、Judith B. Bruckner及Andrew M. Bruckner合著的基础实分析教材，最初于2001年由Prentice Hall（Pearson）出版社出版。该书共有752页，内容涵盖了实数系统的性质、序列及其极限等基础知识。对于初学者或自学实分析的学生而言，本书是一个很好的入门选择。相比于其他同类教材如Rudin的《Real and Complex Analysis》或Royden的《Real Analysis》，本书的语言更加通俗易懂，解释更为详尽，有助于读者更好地理解和掌握实分析的基本概念。 #### 二、实数系统的基本性质 在第一章“Properties of the Real Numbers”中，作者们首先介绍了实数系统的代数结构、序结构以及度量结构，并讨论了实数的上界、下界、上确界与下确界等重要概念。此外，还深入探讨了实数系统的阿基米德性质，即对于任意两个正实数a和b，总存在一个自然数n使得na > b。这一性质是实数系统的一个重要特征，它确保了实数集中的每一个非空有上界的集合都有一个最小的上界（即上确界）。同时，书中还讨论了有理数的稠密性，指出有理数可以在实数线上任意两个点之间找到无限多个有理数。 #### 三、序列的概念与性质 第二章“Sequences”主要介绍了序列的相关概念及其性质。序列是实分析中的一个重要工具，它可以帮助我们研究函数的极限、连续性等问题。本章首先定义了序列的基本概念，随后通过具体的例子帮助读者理解序列的行为特点。接着，书中讨论了序列的收敛与发散问题，这是理解序列性质的关键所在。收敛性是指序列是否趋向于某个特定的数值；而发散性则表示序列没有明确的趋向性。此外，书中还探讨了极限的存在性和唯一性，并给出了极限的一些基本性质，例如收敛序列的有界性、极限的代数运算规则等。为了进一步加深对序列的理解，书中还介绍了子序列的概念及其性质。 #### 四、实数系统的其他特性 除了上述内容外，《Elementary Real Analysis》还详细讨论了实数系统的其他一些重要特性，如阿基米德原理、自然数的归纳性质等。这些性质不仅是理解实数系统的基础，也是后续学习更高级数学知识的重要基石。 #### 五、本书的学习价值 《Elementary Real Analysis》是一本非常适合初学者使用的实分析教材。它不仅提供了丰富的理论知识，还包含了大量的实例和习题，可以帮助读者巩固所学内容。对于那些觉得其他实分析教材难以理解的学生来说，本书提供了一个平易近人的学习路径。无论是作为课堂教学的辅助材料还是个人自学的参考书，本书都是一个非常不错的选择。