《MATLAB实验课件7——基于矩阵向量的科学计算》
在科学计算领域，MATLAB是一种广泛使用的工具，尤其在解决线性代数问题上。本课件主要介绍了两个重要的矩阵分解方法：QR分解和Cholesky分解，以及它们在最小二乘拟合中的应用。
最小二乘拟合是解决过定系统（overdetermined system）的一种常见方法。过定系统是指方程的个数多于未知数，即存在m个方程但只有n个未知数（m > n）。在这种情况下，寻找一个解使得所有方程的残差平方和最小，即寻找向量x，使得Ax - b的范数最小。通常，最小二乘问题可以表示为求解矩阵方程Ax = b，当无解时，寻找最佳近似解。
接下来，我们探讨QR分解。QR分解将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，即A = QR。这种分解在求解最小二乘问题中非常有用。通过QR分解，原问题可以转化为求解R的下三角系统的解，这通常比原始问题更容易处理。MATLAB提供了内置函数`qr()`来实现这一过程。
Cholesky分解则是针对对称正定矩阵的分解，它将矩阵A分解为LL^T的形式，其中L是下三角矩阵。当处理如二次型优化或线性最小二乘问题时，Cholesky分解能提供高效的解决方案。对于最小二乘问题，如果A是对称正定的，我们可以直接利用Cholesky分解来找到最小范数解。MATLAB中的`chol()`函数可以完成Cholesky分解。
高效率的Cholesky分解在大规模计算中尤其重要，因为它可以减少计算时间和内存需求。在实际应用中，为了提高性能，通常会采用迭代算法或者并行计算技术。
课件还提到了MATLAB中的最小二乘工具，例如`lsqlinear()`和`polyfit()`函数。`lsqlinear()`用于解决一般形式的最小二乘问题，而`polyfit()`则特别适用于数据点的多项式拟合。通过这些工具，用户可以方便地找到最佳拟合曲线，例如通过改变多项式的阶数d，可以找到最佳的拟合模型。
课件介绍了QR分解中的旋转矩阵（rotation matrix），它们在构建Q的过程中起到关键作用。旋转矩阵由一对正交向量通过特定的旋转变换构成，如Givens旋转，它可以有效地修改矩阵的列，逐步形成Q矩阵。
MATLAB实验课件7深入浅出地讲解了如何使用矩阵和向量的方法进行科学计算，特别是通过QR和Cholesky分解来解决最小二乘问题，这对于理解和应用线性代数在工程、科学和数据分析等领域至关重要。
