《电磁场与电磁波》是电磁学领域的重要课程，涵盖了电磁场的基本理论和应用。这份2014年的中期考试题主要考察了学生对电磁场基本概念、麦克斯韦方程组、边界条件、能量密度以及电场和磁场计算等方面的知识掌握情况。
一、填空题
1. 位置矢量微元在直角坐标系下的表达式是\( d\mathbf{r} = dx\mathbf{i} + dy\mathbf{j} + dz\mathbf{k} \)，在球坐标系中是\( d\mathbf{r} = dr\mathbf{e_r} + r\sin\theta d\theta\mathbf{e_\theta} + r\cos\theta\sin\theta d\phi\mathbf{e_\phi} \)。在直角坐标系中，单位矢量为常矢量，而在圆柱坐标系中，\( \mathbf{e_r} \)和\( \mathbf{e_\theta} \)是变矢量，球坐标系的单位矢量\( \mathbf{e_r}, \mathbf{e_\theta}, \mathbf{e_\phi} \)也都是变矢量。
2. 标量场的梯度是矢量，如\( \nabla f \)，矢量场的散度是标量，如\( \nabla \cdot \mathbf{A} \)，旋度是矢量，如\( \nabla \times \mathbf{A} \)。标量场在某点的梯度与该点方向导数的关系是它们在该点的方向相同，大小相等，即\( \nabla f \cdot \mathbf{u} = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}} \)。
3. 当两种媒质的电导率分别为\( \sigma_1 \)和\( \sigma_2 \)时，电磁场的边界条件是\( \mathbf{n} \cdot (\mathbf{H}_2 - \mathbf{H}_1) = 0 \)，\( \mathbf{n} \cdot (\mathbf{D}_2 - \mathbf{D}_1) = 0 \)，\( \mathbf{n} \times (\mathbf{E}_2 - \mathbf{E}_1) = 0 \)，\( \mathbf{n} \cdot (\mathbf{B}_2 - \mathbf{B}_1) = 0 \)，其中\( \mathbf{n} \)是边界面上的法向单位矢量。
4. 麦克斯韦方程组的微分形式包括：\( \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \nabla \times \mathbf{H} - \mathbf{J} \)，表示传导电流和时变电场产生磁场；\( \nabla \cdot \mathbf{E} = \rho \)，表示电荷是电场的源；\( \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \)，表示时变磁场产生电场；\( \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \)，表示磁通永远连续。
5. 电场的能量密度是\( \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \)，磁场的能量密度是\( \frac{1}{2}\mu_0 H^2 \)。静电位的泊松方程是\( \nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \)，拉普拉斯方程是\( \nabla^2 A = 0 \)，矢量磁位\( \mathbf{A} \)的三个直角坐标分量的泊松方程分别是\( \nabla^2 A_x = -\frac{J_x}{\mu_0} \)，\( \nabla^2 A_y = -\frac{J_y}{\mu_0} \)，\( \nabla^2 A_z = -\frac{J_z}{\mu_0} \)。
6. 无限长线电荷在无界真空中的电场强度是\( \mathbf{E} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \mathbf{e_r} \)，电位函数是\( V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln r \)。
二、单项选择题
1. 表达式\( R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)的导数是\( \mathbf{R}' = \frac{x}{R}\mathbf{i} + \frac{y}{R}\mathbf{j} + \frac{z}{R}\mathbf{k} \)，因此\( R' \cdot \mathbf{R'} = \frac{x^2}{R^2} + \frac{y^2}{R^2} + \frac{z^2}{R^2} = \frac{R^2}{R^2} = 1 \)，所以\( R = \sqrt{R'^2} \)。
2. 安培环路定理修正后，位移电流\( \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \)加入到磁通量中，因此\( \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \mathbf{I}_{\text{enc}} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \)。
3. 同轴线的单位长度电容是\( \frac{2}{\ln(\frac{b}{a})} \)。
4. 法拉第电磁感应定律指出，穿过闭合回路的磁通量变化会产生电动势，表达式为\( \mathcal{E} = -\frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t} \)。
5. 时变场麦克斯韦方程组表明，磁场可以由电场的变化产生。
三、计算题
这部分未给出具体题目，但通常会涉及到磁场强度的计算、能量存储的计算、自感的计算等，需要利用到麦克斯韦方程组和相关的电磁场理论。
这些内容涵盖了电磁场与电磁波的基础知识，包括坐标系中的矢量表示、场的性质、麦克斯韦方程、边界条件、能量密度、电位和磁位、电场和磁场的计算等。通过解答这些题目，学生能深入理解和运用电磁学的基本原理。
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