hdu 母函数解题报告

【母函数】是一种在组合数学和算法中广泛使用的工具，主要应用于解决计数问题，特别是涉及部分和的问题。母函数可以将求解序列的和转化为求解多项式的乘积，从而简化计算。在这个解题报告中，我们看到两个具体的杭电（HDU）在线判题系统上的题目，它们都是关于使用1分、2分、5分硬币组合成不同金额的问题。 我们来看第一个题目【hdu 2566】。这是一个典型的组合问题，题目要求找出所有可能的组合方式，使得用给定数量的1分、2分、5分硬币组成指定的总金额m。解题的关键在于理解母函数的本质，即通过递推关系来计算组合总数。在这个例子中，我们可以通过三层循环分别对每种面值的硬币进行枚举，检查所有可能的组合是否满足条件。循环中，我们分别用变量`one`、`two`、`five`记录1分、2分、5分硬币的最大可能数量，并使用变量`count`累计满足条件的组合数。最后输出`count`作为答案。 第二个题目【hdu1085】则更加复杂，它要求找到不能被给定硬币面额组合出的最小正整数。这需要我们对各种可能的情况进行分析。当1分硬币的数量为0时，我们不能组合出1，因此最小不能支付的值就是1。接着，我们可以考虑1分硬币和2分硬币的组合，如果1分硬币的总和不足以构成2的倍数，那么下一个不能构成的数值就是2。类似地，如果1分和2分硬币的总和不足以构成5的倍数，那么最小不能支付的值将是5减去当前的总和。通过穷举所有可能的组合，我们可以找出最小的无法构成的值。在这个问题中，同样需要使用循环结构，但计算逻辑更为复杂，需要对各种边界情况进行处理。 母函数的应用通常涉及到高斯消元、欧几里得算法等数学技巧，能够帮助我们快速有效地求解这类问题。在实际编程过程中，要注意优化代码，避免不必要的计算，提高算法效率。对于这两个题目，虽然没有直接使用母函数的公式，但它们体现了母函数解决问题的思想，即通过组合的数学原理来构建解题模型。 在解题报告中，红色标注的部分可能是关键的代码行或思考点，它们强调了如何利用循环结构和条件判断来实现母函数思想的逻辑。通过这样的解题实践，我们可以更好地理解和掌握母函数在实际问题中的应用，并提升解决计数问题的能力。