二重积分的计算
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2019-04-22
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教 案
二重积分的计算
教学内容
二重积分的计算是多元积分学的基本技术，也是多重积分以及曲面积分的计
算的基础，是微积分的重要工具之一。在这节中主要讲解以下几方面的内容：
（1） 直角坐标系下二重积分的计算；
（2） 二重积分的变量代换法；
（3） 极坐标系下二重积分的计算。
教学思路和要求
（1）计算重积分的基本思路是将重积分化为累次积分，通过逐次计算定积
分，求得重积分的值。讨论二重积分的计算，其途径即是化二重积分为二次积分。
通过“已知平行截面面积，求空间区域体积”的背景，引入二重积分化为二次积
分来计算的方法，可以给学生一个直观上的认识。
（2）回忆定积分换元法的思想，可以对二重积分换元法则加深理解。注意指
出作变量代换后面积元素的比例系数是 Jacobi 行列式的绝对值。
（3）从直角坐标到极坐标的变量代换是二重积分计算中十分常见的代换。当
区域边界或被积函数易于用极坐标表示时，采用极坐标往往能带来很大的便利。
因此这部分的内容还是要重点强调。
（4）有必要向学生介绍实例计算时的思考方法，引导他们提高计算能力。
教学安排
一．直角坐标系下二重积分的计算
首先，假设区域
可表示为
}),()(|),{(
21
bxaxyxyx
。
我们将根据二重积分的几何意义把
fd
化为二次积分。为此，暂且假设
0f
。
由上一节可知，
fd
的值等于
以
为底，以曲面
),( yxfz
为顶的
曲顶柱体的体积 V（图 8.2.1），这个
体积实际上还可以用一元函数积分
学中“已知平行截面面积，求空间区
域体积”的方法来求得。为此，我们
固定
],[ bax
，过
)0,0,(x
且平行于
Oyz
的平面截曲顶柱体得到的截面
是该平面上一个以区间
)(),([
21
xx
]
为下底，
),( yxfz
为曲边的一个曲
边梯形，所以这个截面面积为
)(
)(
2
1
),()(
x
x
dyyxfxA
。
a
x
b
x
y
z
z=f(x,y)
图 8.2.1
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