### 数学建模示例 —— 火箭残骸十小时闪电战
#### 摘要
本文探讨了一个复杂的数学建模问题：“多个火箭残骸的准确定位”。该问题来源于2024年深圳杯数学建模竞赛（即东三省数学建模联赛）的A题目。通过对火箭残骸的定位研究，可以为航天器的安全回收提供理论和技术支持。本文不仅提供了详细的解决方案思路，还包含了部分实现这些模型的MATLAB代码以及相关数学公式的推导。
#### 关键词
数学建模；MATLAB 2023b；LaTeX
#### 引言
在现代航天领域，火箭发射后的残骸回收是一项重要的任务。准确预测和定位火箭残骸不仅可以减少潜在的安全风险，还能为后续的火箭设计和发射计划提供宝贵的数据支持。本研究通过分析地面检测设备收集到的音爆数据来追踪并定位火箭残骸。具体而言，四个地面检测设备对残骸弹道进行了完全跟踪，基于这些数据，我们构建了数学模型来精确估计残骸的位置。
#### 数据分析与可视化
##### 图 1：极坐标系中的音爆源
为了更好地理解音爆事件的发生位置及其与火箭残骸之间的关系，我们首先在极坐标系中绘制了各个检测点的方位角和距离。下面是一段用于生成该图的MATLAB代码：
```matlab
deg1=7;deg2=57;deg3=97;deg4=137;deg5=169;deg6=204;deg7=253;deg8=324;
deg21=27;deg22=77;deg23=127;deg24=157;deg25=191;deg26=225;deg27=277;deg28=344;
deg91=45;deg92=300;
degVector=[deg1,deg2,deg3,deg4,deg5,deg6,deg7,deg8,deg21,deg22,deg23,deg24,deg25,deg26,deg27,deg28,deg91,deg92];
theta=deg2rad(degVector);
rho=[0.95,0.9,0.85,0.8,0.95,0.9,0.85,0.97,0.9,0.85,0.8,0.95,0.9,0.85,0.95,1,0.9,0.9];
z=rho.*exp(1i*theta);
compass(z)
%set(gca,'FontName','Times New Roman','FontSize',7,'LineWidth',1.5);
xlabel('\it longitudes','FontSize',10,'FontName','Arial');
title('图 1 极坐标系中的音爆源','FontSize',14,'FontName','宋体');
legend('超音速冲击波','FontSize',10);
```
该图展示了各检测点相对于原点的位置，通过极坐标系下的方位角和距离，可以直观地看出不同检测点与火箭残骸的关系。
##### 图 2：三维直角坐标系中的音爆源
接下来，我们进一步利用三维直角坐标系来展示音爆源的空间分布情况。这有助于更全面地了解火箭残骸的落点范围。以下是生成三维图形的MATLAB代码：
```matlab
[X,Y,Z] = sphere(100);
[U,V,W] = surfnorm(X,Y,Z);
quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0)
axis equal
set(gca,'FontName','Times New Roman');
xlabel('\it X','FontSize',10,'FontName','Arial');
ylabel('\it Y','FontSize',10,'FontName','Arial');
zlabel('\it Z','FontSize',10,'FontName','Arial');
title('图 2 三维直角坐标系中的音爆源','FontSize',14,'FontName','宋体', 'HorizontalAlignment', 'center','verticalAlignment','bottom');
%title(['图2 三维直角坐标系中的音爆源' sprintf('\n') 'Fig.2 Sonic Boom Source in 3D Cartesian Coordinate System.'],'FontSize',20,'FontName','宋体');
legend('超音速冲击波','FontSize',10);
```
三维图不仅显示了音爆源的具体位置，还揭示了它们的空间分布特性，这对于后续的定位计算至关重要。
#### 数学模型构建
为了准确地定位火箭残骸，我们构建了一系列数学模型。主要步骤包括：
1. **声速模型**：考虑到音爆信号传播的速度取决于大气条件，我们需要建立一个基于温度、湿度等环境因素的声速模型。
2. **信号传播时间差**：根据不同检测点接收到的信号时间差，结合声速模型，我们可以估算出音爆发生的相对位置。
3. **残骸落点估计**：综合考虑所有检测点的数据，利用最小二乘法或最大似然估计等统计方法，可以精确估计火箭残骸的落点位置。
#### 结论
通过对地面检测设备收集的数据进行深入分析，并借助MATLAB等工具进行可视化处理，本文成功构建了一套火箭残骸定位的数学模型。这些模型不仅能够帮助我们准确预测残骸的落点，也为未来类似任务的设计和执行提供了宝贵的经验和技术支持。此外，本文还展示了如何使用MATLAB进行数据可视化，使得研究成果更加直观易懂。
### 参考文献
- HI Engie. A Example of Mathematical Modelling - Rocket Wreckage Ten Hour Blitz [EB/OL]. (2024-05-18)[2024-x-x]. http://t.csdnimg.cn/xxx.
### 附录
在实际应用中，还需要进一步优化模型参数，并结合实际情况调整模型假设。例如，考虑风向风速的影响、地形地貌的变化等因素，可以使模型更加贴合实际应用场景。此外，对于模型的验证也需要通过更多的实验数据来进行，确保其可靠性和准确性。
