球坐标下的拉普拉斯方程去推导 -> 球谐函数

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量子力学
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球坐标下的拉普拉斯方程去推导 -> 球谐函数
󲳉值的󵜘󸐡󱬚󳷈 Y
lm
，l = 0 󱭞 4 （由上󷆹下），m=0 󱭞 4
（由左󷆹右）。負󳷈󹢌󵜘󸐡󱬚󳷈 Y
l,-m
可由正󳷈󹢌󱬚󳷈󲴕 z-
軸轉 90/m 󳇓得󱭞。
󵜘谐󱬚󳶹
󵜘谐󱬚󳶹是󳤞󳽬󳤞󳸬󳹂程的󵜘坐标󶟮形式󸈐的⻆󳇓󸻉󱬨。在古典場󸏾、量󲮚⼒󲯄等领域󳆐󴩻应⽤。
󵜘坐标下的󳤞󳽬󳤞󳸬󳹂程式:
。
利 ⽤ 󱬨 󶄫 变 量 󴩰 ， 设 󲰬
。其中 代󷼲⻆󳇓󸻉󱬨的󸈐，也󲵊是󵜘谐󱬚󳶹。
代󱨮󳤞󳽬󳤞󳸬󳹂程，得󱭞󾙏
󱬨󶄫变量󱹖得󾙏
，󳶿理得
这⾥， 是⼀󱓥󱗵 为周期的󱬚󳶹，󱵫满⾜周期性边界󴄄件 ，󲋶此 必须为󳶿󳶹。⽽且可󱗵󸈐󱬕󾙏
，
⽽ 对 于 的 󳹂 程 ， 进 ⾏ 变 量 替 换 ， ， ， 得 󱭞 󱩊 于 的 伴 󹢏 勒 让 󳏝 󳹂 程 。 󳹂 程 的 󸈐 应 满 ⾜ 在
󱴓间上󱸈有󹠠值，此时必须有 ，其中 为⾃󵈧󳶹，且 。对应󳹂程的󸈐为 。󱵫可󱗵󸈐󱬕󾙏
󱬚󳶹的󳪁导
󴂸󳏎󱬨󳹂程的󳪁导
󴂸征󳹂程的󴦔󸈐

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