数学联赛山西赛区预赛试卷 试题.doc

这份文档是2006年全国高中数学联赛山西赛区预赛的试卷，主要涉及中学阶段的数学知识，包括选择题和填空题。题目涵盖数列、组合计数、几何、概率等多个方面。 1. **选择题** - 第一题考察了组合计数，涉及排列组合中的不重复排列问题，计算不重复且百位数字不是5的六位偶数的个数。 - 第二题涉及到等差数列的性质，通过分析数列中连续项的和为零，推断出前2006项的和。 - 第三题是立体几何问题，根据条件求解等腰梯形底面的四棱锥体积，利用相似和比例关系简化问题。 - 第四题考查数的模运算，通过计算得出给定数被3除的余数。 - 第五题是平面几何问题，研究在一个正三角形内部如何放置点，使得无论怎样放置，总可以用半径为一定值的圆覆盖两个点，这里运用了图形分割和覆盖理论。 2. **填空题** - 第六题是概率论与数理统计的应用，求随机变量乘积的数学期望，需要用到乘法事件的概率计算。 - 第七题涉及三角函数的等差数列性质和三角恒等变换，求解函数解析式。 - 第八题通过数论方法求解一个数的末三位数，使用了模运算。 - 第九题是组合问题，找出所有满足特定性质的正整数集合，需要理解集合的并集和子集概念。 - 第十题考察抛物线几何特性，利用弦长公式和抛物线定义求解正三角形的顶点坐标。 这些题目综合检验了学生的数学素养，包括基础概念的理解、逻辑推理能力、问题解决技巧以及对数学工具的灵活应用。解决这些问题需要扎实的数学基础知识，同时也需要一定的创新思维和逻辑推理能力。