等差数列习题大全.pdf

等差数列是一种重要的数学序列，其特性是序列中任意相邻两项之间的差是一个常数，这个常数称为等差数列的公差。等差数列的通项公式是序列中的一项与序列的首项（第一项）和公差的关系式。通项公式通常写作 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中 \( a_n \) 表示第 \( n \) 项的值，\( a_1 \) 是首项，\( d \) 是公差。 1. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差恒定，那么这个数列是等差数列，这个常数就是公差。 2. 三个数 \( a \), \( b \) 构成的等差数列中，如果 \( b \) 是 \( a \) 与 \( c \) 的等差中项，那么有 \( 2b = a + c \)。 3. 如果等差数列 \( a_n \) 的首项是 \( a_1 \)，公差是 \( d \)，则第 \( n \) 项 \( a_n \) 可以通过通项公式 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \) 计算。 4. 通项公式的变形有多种形式，例如 \( a_n = ma + nd \)，\( a_n = \frac{a_1 + (n - 1)d}{2} \)，\( a_n = a_{n-1} + d \)，\( a_n = a_{n+1} - d \)，以及 \( a_n = \frac{d}{2}(2n - 1) + a_1 \)。 5. 等差数列的性质表明，若 \( a_m \), \( a_n \), \( a_p \), \( a_q \) 成等差数列，那么 \( m \), \( n \), \( p \), \( q \) 也成等差数列。同样，若 \( 2n \), \( p \), \( q \) 成等差数列，那么 \( 2n \), \( a_n \), \( a_p \) 也成等差数列。 根据这些知识要点，我们可以解答以下题目： 1. 等差数列 32, 12, 52, 92 的通项公式为 \( a_n = 32 + (n - 1) \times (-20) \)，所以选项 A 正确。 2. 在直角三角形 \( \triangle ABC \) 中，如果 \( B \) 是等差数列的项，且 \( A + C = 180^\circ \)，那么 \( B = 90^\circ \)，因此选项 C 正确。 3. 等差数列 4, 6, 8, ..., 的第 \( n \) 项可表示为 \( 4 + 2(n - 1) \)，令其等于 2000，解得 \( n = 1000 \)，所以选项 D 正确。 4. 若数列 \( a_n \) 的公差 \( d = 3/4 \)，且 \( a_5 = 31/5 \)，则 \( a_1 = a_5 - 4d = 31/5 - 4 \times 3/4 = 14/5 \)。 5. 等差数列 3, 1, 5, ... 的第 15 项 \( a_{15} \) 可以用通项公式计算：\( a_{15} = 3 + (15 - 1) \times 2 = 31 \)。 6. 已知 \( a_{12} = 13 \)，\( a_{13} = 15 \)，则 \( a_{14} = 17 \)，所以 \( a_{12} + a_{13} + a_{14} = 45 \)，即 \( 45 \) 是 \( a_{12} \), \( a_{13} \), \( a_{14} \) 的等差中项，因此 \( 45 \) 是 \( a_{13} \) 的两倍，选项 D 正确。 7. 若数列 \( a_n \) 的公差为 \( d \)，那么数列 \( c_n a_n \) 的公差是 \( cd \)，所以选项 B 正确。 对于更复杂的题目，如： 1. 设 \( a_n \) 是公差为正数的等差数列，若 \( a_1 + a_2 + a_3 = 15 \)，\( a_1a_2a_3 = 80 \)，则 \( a_1 + a_2 + a_3 = 105 \)（使用立方和公式）。 2. 假设递增等差数列 \( a_n \) 的前三项之和为 12，积为 48，可以找到首项 \( a_1 \) 通过解方程组来确定。 3. 等和数列是每一项与其后一项的和为常数的数列，题目中给出了等和数列的例子和通项公式。 4. 高山温度问题可以通过线性关系解决，利用温度变化率计算高度。 5. 等差数列中项符号的考察，例如第几个项为负数，可以通过计算通项公式来确定。 6. 公差为整数的等差数列，如果前六项为正，第七项为负，可以通过排除法确定公差。 7. 等差中项的考察涉及 \( a \) 和 \( b \) 的等差中项是 \( \frac{a + b}{2} \)，以及 \( \log \) 数列的等差中项。 等差数列的公式 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \) 可用于解决各种问题，包括计算特定项的值，判断数列性质，以及构造新数列。在解决实际问题时，要灵活运用这些知识点，同时注意公差的正负以及等差数列的性质，如等差中项、等差数列的和等。