2020年高中数学《1.3.1 辗转相除法、更相减损术及秦九昭算法》学案（无答案）新人教A版必修3.doc
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2021-10-12
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1.3.1 辗转相除法、更相减损术及秦九昭算法
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【学习目标】
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分
析。
2.了解秦九昭算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
学习重难点：辗转相除法和更相减损术的算法思想，秦九昭算法的思想。
【自主学习】
1.辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：
第一步，给定两个正整数 ， .
第二步，求余数 r：计算 m 除以 n，将所得 存放到变量 r 中.
第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.
第四步，判断余数 r 是否为 .若余数为 0，则输出结果；否则转向 继续循环
执行.
如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提
出的，因而又叫欧几里得算法.
2. 更相减损术
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 ，若是，用 2 约简；若不是，
执行第二步.
第二步，以较大的数 较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小
数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的
数的乘积就是所求的最大公约数.
3.秦九昭算法用于求
n
次多项式
01
1
1
)( axaxaxaxf
n
n
n
n
当
0
xx
时的值，
算法反复执行的一个递推公式为 .
【合作探究】
C 级 1．（1）用辗转相除法求 123 和 48 的最大公约数.
（2）用更相减损术求 80 和 36 的最大公约数.
点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为 0，更相减损术
是到达减数和差相等.
B 级 2. 分别用辗转相除法和更相减损术求 1 734，816 的最大公约数．
3.设计利用秦九韶算法计算 5 次多项式
01
2
2
3
3
4
4
5
5
)( axaxaxaxaxaxf
当
0
xx
时的值的程序框图。
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