知能优化训练
1．(2020 年大庆模拟)给出下列推理：
① 由 A，B 为两个不同的定点，动点 P 满足||PA|－|PB||＝2a<|AB|，得点 P 的轨迹为双曲线；
② 由 a
1
＝1，a
n
＝3n－1，求出 S
1
，S
2
，S
3
，猜想出数列{a
n
}的前 n 项和 S
n
的表达式；
③ 由圆 x
2
＋y
2
＝r
2
的面积为 πr
2
，猜想出椭圆＋＝1 的面积为 S＝abπ；
④ 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
其中是归纳推理的命题个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 B.由题意知只有②是归纳推理．
2．已知数列{a
n
}满足 a
0
＝1，a
n
＝a
0
＋a
1
＋…＋a
n
－
1
(n≥1)，则当 n≥1 时，a
n
等于( )
A．2
n
B.n(n＋1)
C．2
n
－
1
D．2
n
－1
解析：选 C.a
0
＝1，a
1
＝a
0
＝1，a
2
＝a
0
＋a
1
＝2a
1
＝2，a
3
＝a
0
＋a
1
＋a
2
＝2a
2
＝4，a
4
＝a
0
＋a
1
＋a
2
＋a
3
＝2a
3
＝8，….
猜想当 n≥1 时，a
n
＝2
n
－
1
.
3．(2020 年高考山东卷)观察(x
2
)′＝2x，(x
4
)′＝4x
3
，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义
在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：选 D.通过观察所给的结论可知，若 f(x)是偶函数，则导函数 g(x)是奇函数，故选 D.
4．(2020 年高考陕西卷)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为________．
解析：由于 1＝1
2,
2＋3＋4＝9＝3
2,
3＋4＋5＋6＋7＝25＝5
2,
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝7
2
，
所以第五个等式为 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝9
2
＝81.
答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
一、选择题
1．已知数列{a
n
}的前 n 项和 S
n
＝n
2
·a
n
(n≥2)，而 a
1
＝1，通过计算 a
2
，a
3
，a
4
，猜想 a
n
等于(
)
A. B.
C. D.
解析：选 B.∵a
1
＝1，S
2
＝a
1
＋a
2
＝2
2
·a
2
，∴3a
2
＝a
1
，∴a
2
＝；
由 S
3
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＝3
2
·a
3
，∴8a
3
＝，∴a
3
＝；
由 S
4
＝a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＝4
2
·a
4
，
∴15a
4
＝，∴a
4
＝.
归纳得，a
n
＝，故选 B.
2．(2020 年泰安模拟)设 f
0
(x)＝cosx，f
1
(x)＝f(x)，f
2
(x)＝f(x)，…，f
n
＋
1
(x)＝f(x)(n∈N
＋
)，则
f
2020
(x)＝( )
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
解析：选 A.由条件知 f
0
(x)＝cosx，
f
1
(x)＝－sinx，f
2
(x)＝－cosx，
f
3
(x)＝sinx，f
4
(x)＝cosx，…，
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