2020高中数学 3-2-1均值不等式同步检测 新人教B版必修5.doc

【知识点详解】 1. **均值不等式**：均值不等式是数学中的一个基本不等式，它表明对于所有非负实数a和b，以下关系总是成立的： - 平均不等式：`a + b ≥ 2√ab` - 几何平均不等式：`ab ≤ (a^p + b^p)^{1/p}`，当p=2时取等号。 - 拉格朗日不等式：`a^n + b^n ≥ 2(a^(n/2)b^(n/2))`，当n为偶数时取等号。 2. **利用均值不等式求最值**：在解题时，可以通过均值不等式来确定函数的最大值或最小值，但要注意使用时需满足一正（所有项均为正数）、二定（指数为常数）、三相等（等号成立的条件）的原则。 3. **对数不等式**：在处理对数不等式时，需要考虑对数函数的性质，如单调性，定义域以及底数的大小关系。例如，`log_at ≤ log_a` 当 `a > 1` 且 `t > 0`。 4. **二次函数与不等式**：二次函数的最值问题通常通过配方法、均值不等式或判别式来解决。例如，`y = ax^2 + bx + c` 的最值取决于系数a的符号，当a>0时，函数在对称轴处取得最小值。 5. **函数的最值**：对于函数`y = f(x)`，如果其定义域有限，可以通过比较函数在边界点和临界点的值来确定最大值和最小值。利用导数法可以找到可能的极值点，然后比较这些点及边界点的函数值。 6. **柯西-施瓦茨不等式**：在向量空间中，对于任何两个向量u和v，都有`(u•v)^2 ≤ ||u||^2 * ||v||^2`，这个不等式在求解某些函数最值时也会用到。 7. **不等式的比较**：比较两个数或表达式的大小，通常需要利用不等式的性质和运算法则，例如平方、开方、指数和对数运算的性质。 8. **乘积的最值**：当两个正数的乘积固定时，它们的和的最小值可以通过均值不等式求得，即`2ab ≤ (a+b)^2`。 9. **代数不等式的应用**：在给定条件如多项式的根、线性组合的范围等情况下，可以运用不等式来解决问题，如题目中的`a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca`。 10. **函数最值的求解技巧**：对于形如`y = (x > a)`的函数，可以通过均值不等式或导数法求解其最小值，当x满足一定条件时，可以达到最小值。 在解答选择题和填空题时，需要仔细分析每个选项，结合均值不等式和其他数学原理，判断正确答案。解答题则需要综合运用这些知识点，给出完整的证明或计算过程。通过这样的练习，学生可以深入理解和熟练运用均值不等式及其相关概念，提高解题能力。