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8.1(1)向量的坐标表示及其运算(1)
一.教学内容分析
按现行上海市中小学数学课程标准,本章内容是在初中学习了向量的基本概
念、向量的加法、减法、实数与向量的积等基础之上的后继学习.但与初中有所不
同的是,初中教材对向量的学习是以“形”为主,主要从“形”的角度展开,而本章内
容则主要是以“数”为主,从“数”的角度进行论述.当然,由于向量本身所具有的数
形结合的特点,本章教材在以“数”为主旨处理教学内容的同时并没有弱化向量的
“形”的方面的特征,而是二者相得益彰,互为依赖、互为补充.
以“数”为主旨研究向量,其核心手段是向量及其运算的坐标表示.向量的坐标
表示,实际上是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,向量的加法、减法、
实数与向量的积、向量的数量积等就完全可以用它们的坐标的加法、减法、数乘
数量积等运算来进行,使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来.这样,就
使得很多问题,可以转化为熟知的数量的运算进行解决.向量及其运算的坐标表示,
一方面为用代数方法处理几何问题提供了通道,另一方面也为向量概念推广到高
维空间指明了途径,同时,它也是高中数学中描述与处理如立几、解几、三角等
诸多问题的一个有力的工具,在高考中也占有一个重要的地位.
作为本章的第一课时,本节课的主要内容是向量的坐标表示及其运算.它是本
章重要的基础性与前提性内容,它引入了将向量问题代数化的基本手段与方法—
—向量的坐标表示.
本节内容课本上的基本处理方法是在引入一些相关的基础性的概念之后,通
过任意向量都可以正交分解为基本单位向量
,i j
的线性组合,在向量的正交分解
的基础上抽象概括出向量的坐标表示形式,并依据向量的正交分解的本质得到向
量坐标形式下的运算法则.
本节课要着力解决三个问题:一是要解决引入向量的坐标形式的必要性的问
题,以引起学生学习的动机,二是要解决如何引入向量的正交分解及如何由此抽
象出向量的坐标形式或者说是如何让学生理解向量坐标的本质的问题,三是要解
决引入向量坐标形式以后如何以坐标形式进行运算的问题.作为本节课(本章的第
一个课时)来说,第二个问题是重中重之中,因为如果学生不能理解向量的坐标
是怎么来的,它的本质是什么,就会对后继学习带来一定的困难.因此,我们在课
上要对这一点特别的重视.
二.教学目标设计
1.了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念;会用坐标表示向
量;会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题.
2. 经历如何将位置向量及任意向量表示为基本单位向量的线性组合这一正
交分解的过程,以及经历如何通过向量的正交分解的本质概括抽象出向量的坐标
表示的过程,初步形成抽象思维的能力;理解平面向量与一对有序实数对的一一
对应关系,理解向量的坐标表示方法及其运算法则;体会数形结合的思想方法.
3.感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律,加深对辩证唯物
主义观点的体验;发展从数学的角度分析和解决问题的能力,以及通过积极参与
数学学习和问题解决的过程,增强学习的主体意识,形成数学的应用意识,养成
严谨、慎密的思维习惯.
三.教学重点及难点
教学重点是如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用;教学难点是对
向量的正交分解的过程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐标表示的过
程的理解.
四.教学流程设计
小结与作业
坐标表示的运算
运用与深化
知起点与终点的
向量的坐标表示
情境问题
向量的正交分解
向量的坐标表示
位置向量的
正交分解
任意向量的
正交分解
位置向量的
坐标表示
任意向量的
坐标表示
返回到情境问题
五.教学过程设计
一.情境引入
上海市莘庄中学的健美操队四名队员 A、B、C、D 在一个长 10 米,宽 8 米
的矩形表演区域 EFGH 内进行健美操表演.
(1)若在某时刻
1
t
,四名队员 A、B、C、D 保持如图 1 所示的平行四边形
队形.队员 A 位于点 F 处,队员 B 在边 FG 上距 F 点 3 米处,队员 D 位于距 EF 边
2 米距 FG 边 5 米处.你能确定此时队员 C 的位置吗?
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艳艳点点
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