【优化方案】2020高中数学 第一章1.3.2（二）知能优化训练 苏教版必修4的知识点主要集中在三角函数，特别是正切函数的性质和应用上。以下是对相关知识点的详细阐述：
1. **正切函数的定义域**：
函数 $y = \tan(x + \frac{\pi}{3})$ 的定义域是由 $x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ 确定的。这意味着 $x$ 必须满足 $x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k\pi = \frac{k\pi}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$。因此，定义域为 $\{x | x \neq \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}\}$。
2. **正切函数的增区间**：
函数 $y = 3\tan(x + \frac{\pi}{3})$ 的增区间是由 $k\pi - \frac{\pi}{2} < x + \frac{\pi}{3} < k\pi + \frac{\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$ 确定的。这简化为 $k\pi - \frac{5\pi}{6} < x < k\pi + \frac{\pi}{6}$, $k \in \mathbb{Z}$，即 $(2k\pi - \frac{5\pi}{6}, 2k\pi + \frac{\pi}{6})$, $k \in \mathbb{Z}$。
3. **正切函数的周期性**：
函数 $y = 3\tan(2x + \frac{\pi}{3})$ 的周期是基本正切函数 $y = \tan(x)$ 周期的一半，即 $\frac{\pi}{2}$。
4. **正切函数图像上的相交点间距**：
直线 $y = a$ 与正切曲线 $y = \tan(x)$ 相交的相邻两点间的距离是正切函数的一个完整周期，即 $\pi$。
5. **函数的性质**：
- 填空题中考察了多个关于正切函数和其他三角函数的性质，如单调性、周期性和奇偶性。例如，函数 $y = \tan(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 上单调递增，是奇函数，周期为 $\pi$。
- 函数 $y = \tan(\frac{x}{2})$ 的定义域是 $\{x | x \neq \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$。
- 函数的奇偶性：$f(x) = \cos(x) \cdot \tan|x|$ 是偶函数。
6. **正切函数的不等式**：
正切函数的不等式如 $tanx > tanx_1$ 或 $tanx_2 > tanx_3$ 可以通过正切函数的单调性来解决。
7. **角度的取值范围**：
当 $tanx > tan(\frac{3\pi}{4})$ 且 $x$ 在第三象限时，根据正切函数的图像和性质，可以找到 $x$ 的取值范围。
8. **正切函数的单调性与周期**：
如果 $y = tan\omega x$ 在区间 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内是减函数，那么 $\omega$ 必须小于零，并且 $\frac{\pi}{|\omega|} \geq \pi$，得出 $\omega$ 的取值范围是 $[-1, 0)$。
9. **函数的定义域**：
- 求函数 $y = \sqrt{1 - \tan^2x}$ 和 $y = \ln(1 + \tan^2x) + \ln(1 - \tan x)$ 的定义域涉及到不等式的解以及正切函数的值域，需要确保根号下的表达式非负，对数函数的真数大于零，以及 $1 - \tan x > 0$。
10. **函数的周期、单调性和比较**：
- $f(x) = 3\tan(-\frac{x}{2})$ 的周期是基本正切函数周期的两倍，即 $2\pi$。单调性可以通过分析 $\tan(-\frac{x}{2})$ 的单调性来确定。
- 比较 $f(\pi)$ 和 $f(\frac{\pi}{4})$ 的大小，可以将 $x = \pi$ 和 $x = \frac{\pi}{4}$ 代入函数中，利用正切函数在第一象限的单调性来判断。
11. **存在性问题**：
要使 $k + \tan(-2x)$ 在 $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$ 上总是非负的，等价于 $k \leq \tan(2x - \frac{\pi}{2})$ 的最小值。由于 $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$，$\tan(2x - \frac{\pi}{2})$ 的取值范围是 $[0, 1]$，因此 $k$ 的取值范围是 $(-\infty, 0]$。
这些知识点涵盖了正切函数的基本概念，包括定义域、单调性、周期性、奇偶性、不等式求解和函数定义域的确定。这些内容对于理解和解决高中数学中的三角函数问题至关重要。
