【高中数学】第一章《解三角形》的知识梳理主要围绕正弦定理、余弦定理以及它们的应用展开，这是新人教A版必修5的重要内容。
1. **正弦定理**：在任意三角形ABC中，如果R是外接圆的半径，那么有比例关系：\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)。这个定理提供了求解三角形边长和角度的途径。变形公式包括：\( a = 2R\sin A \)，\( b = 2R\sin B \)，\( c = 2R\sin C \)等。正弦定理主要用于已知两边和一个非夹角，或者已知两角和一边来求解其余的边和角。对于已知两边和一个非夹角的情况，需要注意可能有一解、两解或无解的情况。
2. **正弦定理的应用**：例如，如果在三角形ABC中，已知a、b和A（A为锐角），求B。可以通过数形结合的思想画图，或者直接利用正弦定理进行计算，判断解的个数。
3. **三角形面积公式**：三角形的面积可以通过两边长a和b及它们之间的夹角C计算，公式为：\( S = \frac{1}{2}ab\sin C \)。
4. **余弦定理**：在三角形ABC中，余弦定理表达式为：\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \)，\( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B \)，\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \)。余弦定理用于已知两边和夹角，或者已知三边来求解角度。
5. **余弦定理的推论**：根据余弦定理，还可以推导出边与角的关系，如\( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)等。
6. **三角形形状的判断**：通过比较边长和角的关系，可以判断三角形的类型。例如，若\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则三角形是直角三角形；若\( a^2 = b^2 + c^2 \)，则A为直角。
7. **三角形的“五心”**：重心是三条中线的交点，外心是三边垂直平分线的交点，内心是三内角平分线的交点，垂心是三边高线的交点。
8. **解三角形的应用题**：常见问题包括测量距离、高度、角度、计算面积、航海问题、物理问题等。解题步骤通常包括理解题意、画图建模、选择合适的定理（正弦或余弦）求解、还原实际问题并处理相关单位和近似计算。
9. **特殊角的应用**：例如，仰角、俯角、方位角、方向角以及坡度，这些都是实际问题中常见的角度概念。
10. **解题实例**：例如，一船航行问题中，通过建立几何模型，利用正弦定理或余弦定理求解船速或距离。另一例是测量距离问题，通过在图中构建三角形，利用正弦定理和余弦定理计算未知边长。
通过以上内容，我们可以看出，解三角形的知识是高中数学的重要组成部分，它不仅包含了基本的定理和公式，还有丰富的实际应用，对学生理解和解决实际问题能力的培养至关重要。
