用MATLAB解二次型规划和一般非线性规划问题.pdf

在MATLAB中，解决优化问题是一项常见的任务，包括二次型规划（Quadratic Programming,QP）和非线性规划（Nonlinear Programming,NLP）。本实验主要介绍了如何利用MATLAB解决这两种类型的优化问题。 首先，我们来看二次型规划问题。二次型规划涉及到目标函数是二次函数，且约束条件可以是线性的或非线性的。MATLAB提供了内置函数`quadprog`来解决这类问题。在第一个例子中，目标是最小化函数`-6x1 - 3x2`，其中`x1`和`x2`受制于不等式约束`x1 + x2 <= 3`和`4x1 + x2 <= 9`以及非负约束`x1, x2 >= 0`。在输入这些参数到`quadprog`函数时，我们需要注意Hessian矩阵`H`应该是对称的。如果输入的Hessian不对称，MATLAB会自动调整为对称形式。在本例中，虽然出现了警告，但MATLAB仍然能够找到最优解`x = [1.9500, 1.0500]`，最小目标值`f_opt = -11.0250`。 接下来，我们讨论非线性规划问题。非线性规划问题的目标函数和/或约束条件包含非线性项。第二个例子中，目标是最小化函数`exp(x1)*(4x1^2 + 2x2^2 + 4x1*x2 + 2x2 + 1)`，同时满足不等式约束`x1 + x2 <= 0`，`x1 * x2 >= 1.5`，和`-10 <= x1, x2 <= 10`。为了解决这个问题，MATLAB提供了`fmincon`函数。在这个例子中，我们定义了目标函数`y`和约束函数`cdd01`，并设置初始猜测值`x0`，上下界`xm`和`xM`。尽管出现了一个警告，表示所选的算法不适用于此类问题，但`fmincon`还是找到了一个近似解`x = [3.1740, -7.9967]`，最小目标值`f_opt = 1.2351e+003`。 最后，我们触及0-1线性规划问题，这是一种特殊形式的线性规划，变量只能取0或1。在这种情况下，MATLAB的`bintprog`函数用于找到最佳整数解。在第三个例子中，目标是最小化`5x1 + 7x2 + 10x3 + 3x4 + 1x5`，并满足线性约束`-1x1 + x2 - 5x3 - x4 + 4x5 <= -2`，`2x1 - 6x2 + 3x3 + 2x4 - 2x5 <= 0`，以及`0x1 - 2x2 + 2x3 - x4 - x5 <= 1`。通过设定变量的下限`x_m`和上限`x_M`为0和1，`bintprog`函数找到最优解`x = [0, 1, 1, 0, 0]`。 总结起来，MATLAB提供了一系列强大的工具来处理各种优化问题，包括`quadprog`用于二次型规划，`fmincon`用于非线性规划，以及`bintprog`用于0-1线性规划。这些函数允许用户自定义目标函数和约束，以解决实际问题。然而，需要注意的是，不同函数可能有特定的适用范围和限制，如算法的选择和最大迭代次数，因此在使用时需要仔细阅读文档和处理可能出现的警告。