【高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)】
高等代数是一门深入研究线性代数和抽象代数的数学课程，主要涉及线性空间、线性映射、特征值与特征向量、二次型以及矩阵理论等相关概念。这份期终考试题包含了填空题、选择题、判断题、计算题和证明题，全面测试了学生对这些概念的理解和应用能力。
1. **填空题**
- 第1题：在基`P`下的坐标为`(-4, 0, 1)`。
- 第2题：对于矩阵`A`，若其特征值为`1, 2, ..., n`，则对任意多项式`f(x)`，`f(A)`的特征值为`f(1), f(2), ..., f(n)`。
- 第3题：在数域`P`上的线性空间`P[x]`中，线性变换`A(f(x)) = f(ax)`的值域为`P[x]`，核为`{0}`。
- 第4题：对于3阶λ-矩阵，标准形为`21 0 0 0 0 0`，不变因子为`λ - 2`，`λ^2 - 4λ + 4`，行列式因子`D3`为`λ^3 - 5λ^2 + 6λ - 4`。
- 第5题：4阶方阵`A`的初等因子为`λ-1`的平方，`λ-2`，`λ-3`，则`A`的标准形为对角矩阵`J`，其主对角线元素分别为`1, 1, 2, 3`。
- 第6题：在n维欧氏空间中，向量`(x1, x2, ..., xn)`在标准正交基下的第`i`个坐标是`xi`。
- 第7题：两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相同，并且存在一个双射保持内积不变。
2. **选择题**
- 第1题：线性空间`V`的维度`dim(V)`为4。
- 第2题：A的初等因子全是1次的，即A是可对角化的。
- 第3题：三阶方阵`A`的特征多项式为`f(A) = λ^3 - 5λ^2 + 6λ - 4`，其行列式的绝对值`|A|`为3。
- 第4题：向量`(2, 1, 2)`与`(1, 1, 0)`正交，所以`k`必须满足`2k + 2k + 2k = 0`，即`k = -1/2`。
- 第5题：子集`(3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 4)`不是`R^3`的子空间，因为不是闭合的，不满足加法和数乘的线性性质。
3. **判断题**
- 第1题：正确。因为`A`的零向量加上任何向量`v`仍然在`V`中。
- 第2题：错误。矩阵`A`不一定是对称的，因此不能保证正定。
- 第3题：正确。非零向量可以生成无限多的向量。
- 第4题：正确。线性变换保留加法和标量乘法的性质。
- 第5题：正确。正交意味着它们的内积为0。
- 第6题：正确。λ-矩阵可逆的充要条件是λ不是特征值。
4. **计算题**
- 要求的计算涉及向量在不同基下的坐标转换和矩阵表示。
- 第1题：需要找到向量在新基下的坐标。
- 第2题：要求线性变换在另一组基下的矩阵，涉及到基的转换。
- 第3题：将二次型通过正交线性替换化为标准型，这涉及到正交变换矩阵。
5. **证明题**
- 第1题：证明线性空间可以由一组基生成。
- 第2题：证明一组基是标准正交基的充要条件是所有向量之间的内积为0或1。
- 第3题：证明线性变换的像和核是该线性变换的不变子空间。
这份试卷涵盖了高等代数的多个核心概念，包括线性空间、特征值与特征向量、线性变换、二次型和子空间的性质。通过解答这些问题，学生可以检验自己对这些概念的掌握程度。
