1 窗函数设计法原理
数字滤波器可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化
为代表输出信号的数字时间序列，并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。数字滤波
器有多种分类，根据数字滤波器冲激响应的时域特征，可将数字滤波器分为两种，即无限
长冲激响应〔iir〕滤波器和有限长冲激响应〔fir〕滤波器。fir 数字滤波器的单位脉冲响应
是有限长序列。它的设计问题实质上是确定能满足所要求的转移序列或脉冲响应的常数问
题，设计方法主要有窗函数法、频率采样法和等波纹最正确逼近法等。
用窗函数设计滤波器首先要对滤波器提出性能指标。一般是给定一个理想的频率响应，
使所设计的 FIR 滤波器的频率响应去逼近所要求的理想的滤波器的响应。窗函数法设计的
任务在于寻找一个可实现〔有限长单位脉冲响应〕的传递函数。用一定宽度窗函数截取无
限脉冲响应序列获得有限长的脉冲响应序列。主要设计步骤为：
〔1〕通过傅里叶逆变换获得理想滤波器的单位脉冲响应 hd(n)。
从时域出发，截取有限长的一段冲击响应作为 H(z)的系数，冲击响应长度 N 就是系统
函数 H(z)的阶数。只要 N 足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。一般这种时域
设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。要设计一个线性相位的 FIR 数字滤波器，
首先要求理想频率响应
。
是 w 的周期函数，周期为
，可以展开成傅氏
级数：
＝
〔公式 1-1〕
其中
是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。但不能用来作为设计 FIR DF
用的 h(n)，因为
一般都是无限长、非因果的，物理上无法实现。为了设计出频响类似
于理想频响的滤波器，可以考虑用 h(n)来近似
。
窗函数的根本思想：先选取一个理想滤波器〔它的单位抽样响应是非因果、无限长
的〕，再截取〔或加窗〕它的单位抽样响应得到线性相位因果 FIR 滤波器。这种方法的重点
是选择一个适宜的窗函数和理想滤波器。
〔2〕由性能指标确定窗函数 W(n)和窗口长度 N。
设 x(n)是一个长序列，w(n)是长度为 N 的窗函数，用 w(n)截断 x(n)，得到 N 点序列
xn(n)，即
