【老生谈算法】matlab实现龙格古塔算法.docx资源-CSDN文库

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龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于

此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法

是构建在数学支持的基础之上的。龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和

使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加

权平均，用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。如

果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个点就是四阶龙格

库塔法。一阶常微分方程可以写作：y'=f(x,y),使用差分概念。

(Yn+1-Yn)/h= f(Xn,Yn)推出（近似等于，极限为 Yn'）

Yn+1=Yn+h*f(Xn,Yn)

另外根据微分中值定理，存在 0<t<1,使得

Yn+1=Yn+h*f(Xn+th,Y(Xn+th))

这里 K＝f(Xn+th,Y(Xn+th))称为平均斜率，龙格库塔方法就是求得 K 的一种算

法。

利用这样的原理，经过复杂的数学推导（过于繁琐省略），可以得出截断误差

为 O(h^5)的四阶龙格库塔公式：

K1＝f(Xn,Yn);

K2=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)*K1);

K3=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)*K2);

K4=f(Xn+h,Yn+h*K3);

Yn+1=Yn+h*(K1+2K2+2K3+K4)*(1/6);

所以，为了更好更准确地把握时间关系，应自己在理解龙格库塔原理的基础

上，编写定步长的龙格库塔函数，经过学习其原理，已经完成了一维的龙格库

塔函数。

仔细思考之后，发现其实如果是需要解多个微分方程组，可以想象成多个微分

方程并行进行求解，时间，步长都是共同的，首先把预定的初始值给每个微分

方程的第一步，然后每走一步，对多个微分方程共同求解。想通之后发现，整

个过程其实很直观，只是不停的逼近计算罢了。编写的定步长的龙格库塔计算

函数：

function [x,y]=runge_kutta1(ufunc,y0,h,a,b)%参数表顺序依次是微分方程组的函数

名称，初始值向量，步长，时间起点，时间终点（参数形式参考了 ode45 函

数）。

n=floor((b-a)/h);%求步数

x(1)=a;%时间起点

y(:,1)=y0;%赋初值，可以是向量，但是要注意维数

for ii=1:n

x(ii+1)=x(ii)+h;

k1=ufunc(x(ii),y(:,ii));

k2=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k1/2);

k3=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k2/2);

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